Question

（16分）如图所示，皮带传动装置与水平面夹角为30°，轮半径R=  m，两轮轴心相距L=3.75m，A、B分别使传送带与两轮的切点，轮缘与传送带之间不打滑。一个质量为0.1kg的小物块与传送带间的动摩擦因数为μ=  。g取10m/s²。

（1）当传送带沿逆时针方向以=3m/s的速度匀速运动时，将小物块无初速地放在A点后，它运动至B点需多长时间？（计算中可取≈16，≈20）

（2）小物块相对于传送带运动时，会在传送带上留下痕迹。当传送带沿逆时针方向匀速运动时，小物块无初速地放在A点，运动至B点飞出。要想使小物块在传送带上留下的痕迹最长，传送带匀速运动的速度至少多大？

                            

Answer 1

（16分）

解：

（1）当小物块速度小于3m/s时，小物块受到竖直向下、垂直传送带向上的支持力和沿传送带斜向下的摩擦力作用，做匀加速直线运动，设加速度为a₁，根据牛顿第二定律

mgsin30° + μmgcos30°=ma₁ ①      ………………… 2分

解得 a₁ = 7.5m/s²

当小物块速度等于3m/s时，设小物块对地位移为L₁，用时为t₁，根据匀加速直线运动规律

                  ②  …………………  1分

                ③…………………1分

解得 t₁ = 0.4 s   L₁ = 0.6 m

由于L₁＜L 且μ＜tan30°，当小物块速度大于3m/s时，小物块将继续做匀加速直线运动至B点，设加速度为a₂，用时为t₂，根据牛顿第二定律和匀加速直线运动规律

mgsin30°－μmgcos30°=ma₂  ④  …………………2分

解得  a₂ = 2.5m/s²

L－L₁ = v₁t₂ + a₂t₂²   ⑤   …………………1分

解得 t₂ = 0.8 s

故小物块由静止出发从A到B所用时间为 t = t₁ + t₂ = 1.2 s    ………1分

（2）传送带匀速运动的速度越大，小物块从A点到B点用时越短，当传送带速度等于某一值v′ 时，小物块将从A点一直以加速度a₁做匀加速直线运动到B点，所用时间最短，设用时t₀，即

L = a₁t₀²             ⑥…………………1分

解得t₀ = 1s

传送带的速度继续增大，小物块从A到B的时间保持t₀不变，而小物块和传送带之间的相对路程继续增大，小物块在传送带上留下的痕迹也继续增大；当痕迹长度等于传送带周长时，痕迹为最长S_max。   …………………2分

设此时传送带速度为v₂，则

S_max = 2L + 2πR       ⑦ …………………1分

S_max = v₂t₀－L         ⑧  …………………2分

联立⑥⑦⑧解得 v₂ = 12.25m/s   ………………… 2分