Question

9．“神八”无人飞船，于2011年11月1日5时58分10秒由改进型“长征二号”F遥八火箭顺利发射升空，与此前发射的“天宫一号”目标飞行器进行了空间交会对接，组合体运行12天后，“神八”与“天宫一号”成功分离，返回舱于11月17日19时许返回地面，设“神八”与“天宫一号”的组合体在圆轨道上绕地球运行n圈所用的时间为t，地球表面的重力加速度为g，地球半径为R，求：
（1）组合体的圆轨道离地面的高度？
（2）组合体在圆轨道上运行的速率？

Answer 1

分析 由题求出“神八”与“天宫一号”的组合体绕地球做匀速圆周运动的周期，根据万有引力等于向心力列出方程，根据地球表面忽略地球自转时万有引力等于重力列出方程进行求解即可．

解答 解：（1）“神八”与“天宫一号”的组合体绕地球运行n圈所用的时间为t，则其周期为：
 T=$\frac{t}{n}$…①
组合体在圆轨道上绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力得：
 G•$\frac{Mm}{（R+h）^{2}}$=m（R+h）•$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$…②
根据地球表面，忽略地球自转时万有引力等于重力，则得：
 G•$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=mg…③
由①②③解得：h=$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{t}^{2}}{4{π}^{2}{n}^{2}}}$-R
（2）由线速度公式得：
组合体在圆轨道上运行的速率 v=$\frac{2π（R+h）}{T}$=$\root{3}{\frac{2πng{R}^{2}}{t}}$
答：（1）组合体的圆轨道离地面的高度为$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{t}^{2}}{4{π}^{2}{n}^{2}}}$-R．
（2）组合体在圆轨道上运行的速率为$\root{3}{\frac{2πng{R}^{2}}{t}}$．

点评 本题要掌握万有引力的作用，天体运动中万有引力等于向心力，地球表面忽略地球自转时万有引力等于重力，利用两个公式即可解决此问题．只是计算和公式变形时易出现错误．