Question

19．如图所示，用内壁光滑的薄壁细圆管弯成的由半圆形APB（圆半径比细管的内径大得多）和直线BC组成的轨道固定在水平桌面上，已知APB部分的半径R=1.0m，BC段长s=2.5m．弹射装置将一个小球（可视为质点）以v₀=5m/s的水平初速度从A点弹入轨道，小球从C点离开轨道随即水平抛出，落地点D离开C的水平距离x=2m，不计空气阻力，g取10m/s²．求：
（1）小球在半圆轨道上运动时的角速度ω和加速度a的大小；
（2）小球从A点运动到C点的时间t；
（3）桌子的高度H．

Answer 1

分析 （1）小球在半圆形APB管内做匀速圆周运动时，角速度ω=$\frac{{v}_{0}}{R}$，加速度a=ωv₀．根据牛顿第二定律求出圆管对小球的作用力大小；
（2）小球从A到B的时间t₁=$\frac{πR}{{v}_{0}}$，从B到C做匀速直线运动，时间为t₂=$\frac{L}{{v}_{0}}$．
（3）根据平抛运动水平方向上运动的时间和竖直方向上运动的时间相等，求出桌子的高度．

解答 解：（1）小球在圆轨道中点P的角速度ω=$\frac{{v}_{0}}{R}$=$\frac{5}{1}$=5rad/s．
        加速度a=$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$=$\frac{{5}^{2}}{1}$=25m/s²
（2）小球从A到B的时间t₁=$\frac{πR}{{v}_{0}}$=$\frac{3.14×1}{5}$=0.428s
从B到C的时间t₂=$\frac{s}{{v}_{0}}$=$\frac{2.5}{5}$=0.5s
则小球从A到C的时间t=t₁+t₂=0.928s．
（3）小球从C到D的过程有：平抛运动的时间t=$\sqrt{\frac{2h}{g}}$=$\frac{x}{{v}_{0}}$
解得桌子的高度h=$\frac{{x}^{2}g}{2{v}_{0}^{2}}$=$\frac{{2}^{2}×10}{2×{5}^{2}}$=0.8m．
答：（1）小球在半圆轨道上运动时的角速度为5rad/s，加速度为25m/s²．
（2）小球从A点运动到C点的时间为0.928s．
（3）桌子的高度h为0.8m．

点评 解决本题的关键知道角速度、加速度与线速度的关系，以及知道平抛运动在水平方向和竖直方向上的运动规律，知道分运动与合运动具有等时性．