Question

如图所示，直角坐标系位于竖直平面内，在水平的x轴下方存在匀强磁场和匀强电场，磁场的方向垂直xOy平面向外，电场线方向平行于y轴．一质量为m．电荷量为q的带正电的小球，从y轴上的A点以水平速度v₀向右抛出，与x轴成45°角经x轴上M点进入电场和磁场，恰能做匀速圆周运动，从坐标系原点第一次离开电场和磁场．不计空气阻力，重力加速度为g．求：
（1）电场强度E的大小和方向；
（2）磁感应强度的大小；
（3）求小球从A运动到O的总时间．

Answer 1

分析：（1）小球在电场和磁场的复合场中恰能做匀速圆周运动，电场力与重力必须平衡，列式可求解电场强度E的大小，判断出E的方向．
（2）小球从A运动到M做平抛运动，根据平抛运动的规律求出小球进入复合场时的速度和OM．小球在复合场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力．由几何知识求出轨迹半径，根据牛顿第二定律和向心力公式求解磁感应强度的大小．
（3）根据小球在电场中做类平抛运动，结合运动学公式，可求出运动的时间；再由在磁场中做匀速圆周运动，结合圆心角及周期公式，即可求解总时间．

解答：解：（1）小球在电场和磁场的复合场中恰能做匀速圆周运动，所受的电场力与重力必须平衡，则有：
  qE=mg
解得：E=

mg

q

；
由于小球带正电，故电场方向竖直向上．
（2）小球从A运动到M做平抛运动，根据平抛运动的规律得：
在M点有 v_y=v₀tan45°，v_y=gt，OM=v₀t
联立解得：OM=

v 2 0

g

则小球做匀速圆周运动的速度 v=

2

v₀．
设小球做匀速圆周运动的半径为r，由几何关系得：
  2rsin45°=OM
得，r=

2 v 2 0

2g

根据洛伦兹力提供向心力，得：
   qvB=m

v2

r

解得：B=

2mg

qv0

；
（3）小球在电场中做类平抛运动，将运动分解成竖直方向与水平方向，则有运动时间为t₁=

v⊥

g

=

v0

g

；
而小球在磁场中做匀速圆周运动，运动的时间为t₂=

3

4

T=

3

4

×

mv

Bq

=

3

4

πv0

g

；
因此小球从A运动到O点的时间为t=t₁+t₂=

v0

g

(1+

3π

4

)；
答：（1）电场强度E的大小为

mg

q

，方向竖直向上；（2）磁感应强度的大小为

2mg

qv0

；（3）求小球从A运动到O的总时间

v0

g

(1+

3π

4

)．

点评：本题要掌握平抛运动的处理方法，粒子在磁场中做匀速圆周运动，能正确的画出运动轨迹，并根据几何关系确定各量之间的关系．