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【题目】如图甲所示,一轻质弹簧左端固定在墙壁上,右端与置于水平面上的质量为m的小滑块相连。在以下的讨论中小滑块可视为质点,弹簧始终在弹性限度内,取弹簧原长时弹性势能为0,且空气阻力可忽略不计。

1)若水平面光滑,以弹簧原长时小滑块的位置O为坐标原点,建立水平向右的坐标轴Ox,如图甲所示。

①已知弹簧的劲度系数为k,请写出弹簧弹力F与小滑块所在位置坐标x的关系式,并借助F-x 图像确定出将小滑块由O点缓慢拉到位置坐标x的过程中,弹簧弹力所做的功。

②小滑块在某轻质弹簧的作用下,沿光滑水平面在O点附近做往复运动,若从小物块向右运动通过O点时开始计时,请在图乙中定性画出小物块所受弹力F随时间t变化的关系图像;

若测得该弹簧的弹性势能Ep与其位置坐标x的关系曲线如图丙所示,其中Ep0x0皆为已知量,请根据图丙中Ep-x图像提供的信息求解本题中弹簧的劲度系数k′

2)若水平面不光滑,小滑块与水平面间的动摩擦因数为μ。如图丁所示,弹簧的劲度系数为kO为弹簧原长位置,以距O点右侧 O′为坐标原点,向右为正方向建立坐标轴O′x′。将小滑块沿水平面向右拉到O′右侧的P点,由静止释放小滑块,小滑块可以在水平面上往复运动并最终停下。已知重力加速度为g,并可认为滑动摩擦力与最大静摩擦力大小相等。

①证明小滑块被释放后第一次向左的运动的过程中,其受力特点符合以O为平衡位置的简谐运动的受力条件。并分析如果小滑块在O点最左方停不住,则OP点距离应满足什么条件;

若小滑块被释放后能第2次经过O点而不能第3次经过O点,试分析说明O′P点距离又应满足什么条件。

【答案】(1) ①-kx2 ,②图见解析 (2) ①l,②l

【解析】

1)①弹力与x的关系:

F=-kx

因为F-x图像是过原点的直线,则弹簧弹力所做的功

②如图1所示;

2)①

即小滑块第一次向左运动过程的受力情况与以O′为平衡位置的简谐运动的受力相同。

对于小滑块由P点出发向左运动的过程,假设其在最左端时,其距O点的距离为l1,由功能关系得:

即:

解得:

若小滑块速度为零而停不住,则应有:

kl1μmg

l1代入得:

②设小滑块速度为零时距O点的距离为l2,对其由O点左侧最大位移处向右运动至速度减为零的过程,由功能关系得:

解得:

若小滑块到达O点时速度为零,则l2=0,则

滑块能第二次经过O点时满足条件是

同理,小滑块在O点右侧速度为零时距O点的距离为l3,对其由O点右侧最大位移处向左运动至速度减为零的过程,满足

则若小滑块到达O点时速度为零,则32=0,则

滑块不能第三次经过O点时满足条件是

O′P点距离应满足的条件为

l

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A. B.

C. D.

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