Question

14．如图所示，在直角坐标系xOy平面的第Ⅱ象限内有半径为R的圆O₁分别与x轴、y轴相切于P（-R，0）、Q（0，R） 两点，圆O₁内存在垂直于xOy平面向外的匀强磁场，磁感应强度为B．与y轴负方向平行的匀强电场左边界与y轴重合，右边界交x轴于M点，一带正电的粒子A（重力不计）电荷量为q、质量为m，以某一速率垂直于x轴从P点射入磁场，经磁场偏转恰好从Q点进入电场，最后从M点以与x轴正向夹角为45°的方向射出电场．求：
（1）OM之间的距离；
（2）该匀强电场的电场强度E；
（3）若另有一个与A的质量和电荷量相同、速率也相同的粒子A′，从P点沿与x轴负方向成30°角的方向射入磁场，则粒子A′再次回到x轴上某点时，该点的坐标值为多少？

Answer 1

分析 （1）从D至G作类平抛运动，根据平抛运动规律列方程求解OG之间的距离；
（2）粒子在磁场中做匀速圆周运动，由圆周运动的半径表示出粒子的速度，结合牛顿第二定律和运动学公式求出匀强电场的电场强度E；
（3）结合题意作出所以粒子A′的运动轨迹，粒子A′也是垂直于y轴进入电场的，结合几何知识求解粒子A′再次回到x轴上某点时，该点的坐标值．

解答 解：（1）设粒子A速率为v₀，其轨迹圆圆心在O点，故A运动至D点时速度与y轴垂直，粒子A从D至G作类平抛运动，
令其加速度为a，在电场中运行的时间为t，
则有：$y=R=\frac{1}{2}a{t}^{2}$
x=OG=v₀t …①
和 tan45°=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{x}}$=$\frac{at}{{v}_{0}}$ …②
联立①②解得：$\frac{y}{x}$=$\frac{\frac{1}{2}at}{{v}_{0}}$=$\frac{1}{2}$tan45°=$\frac{1}{2}$
故有：OG=2R…③
（2）粒子A的轨迹圆半径为R，由$q{v_0}B=m\frac{v_0^2}{R}$
得 ${v_0}=\frac{qBR}{m}$…④
$a=\frac{Eq}{m}$…⑤
联立①③⑤得$R=\frac{1}{2}•\frac{Eq}{m}•{（\frac{2R}{{v_0^{\;}}}）^2}$
解得：E=$\frac{qR{B}^{2}}{2m}$
（3）令粒子A′轨迹圆圆心为O′，因为∠O′CA′=90°，O′C=R，以 O′为圆心，R为半径做A′的轨迹圆交圆形磁场O₁于H点，
则四边形CO′H O₁为菱形，故O′H∥y轴，粒子A′从磁场中出来交y轴于I点，HI⊥O′H，
所以粒子A′也是垂直于y轴进入电场的，令粒子A′从J点射出电场，交x轴于K点，
因与粒子A在电场中的运动类似，
∠JKG=45°，GK=GJ．                                     
OI-JG=R
又OI=R+Rcos30°
解得：JG=Rcos30°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$R           
粒子A′再次回到x轴上的坐标为（2R+$\frac{\sqrt{3}}{2}$R，0）
答：（1）OG之间的距离2R；
（2）该匀强电场的电场强度$\frac{qR{B}^{2}}{2m}$；
（3）若另有一个与A的质量和电荷量相同、速率也相同的粒子A′，从C点沿与x轴负方向成30°角的方向射入磁场，则粒子A′再次回到x轴上某点时，该点的坐标值为（2R+$\frac{\sqrt{3}}{2}$R，0）．

点评 粒子在电场中运动偏转时，常用能量的观点来解决问题，有时也要运用运动的合成与分解．粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心、半径及运动时间的确定也是本题的一个考查重点，要正确画出粒子运动的轨迹图，能熟练的运用几何知识解决物理问题．