Question

10．如图所示，固定的光滑$\frac{1}{4}$圆弧轨道AB的半径r=1.25m，A点与圆心O在同一水平线上，圆弧轨道底端B点与圆心在同一竖直线上．质量m=1kg的小物块（可视为质点）从轨道上的A点由静止释放，到达底端时水平进入轴心距离L=4m的水平传送带，传送带可由一电机驱使沿顺时针匀速转动．已知物体与传送带间的动摩擦因数为μ=0.15．不计物块通过轨道与传送带交接处的动能损失，不计空气阻力，（g=10m/s²）求：
（1）物块从A点下滑到B点时速度的大小v_B．
（2）若电机不开启，传送带不动，物体能够从传送带右端滑出，则物体滑离传送带右端的速度大小v₁为多少？
（3）若开启电机，传送带以速率v₂=6m/s顺时针匀速转动，且已知物体到达传送带右端时速度已达到v₂，则传送一个物体电动机对传送带需多做的功为多少？

Answer 1

分析 （1）物体在曲面上运动时，机械能守恒，根据机械能守恒定律求出物体到达曲面底端时的速度大小．
（2）对在传送带上的运动过程，运用动能定理，求出物体滑离传送带右端时的速度大小．
（3）根据牛顿第二定律求出物体在传送带上运行的加速度，结合速度时间公式求出运行的时间，从而得出这段过程中传送带的位移，根据能量守恒得出传送一个物体电动机多做的功．

解答 解：（1）物体从曲面上下滑时机械能守恒，有$mgh=\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$
解得物体滑到底端时的速度${v}_{0}=\sqrt{2gh}$=$\sqrt{2×10×1.25}$=5m/s．
（2）物体滑离传送带右端时速度为v₁，根据动能定理
$-μmgL=\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$
解得${v}_{1}=\sqrt{2gh-2μgL}$=$\sqrt{25-2×0.15×10×4}$=3.6m/s．
（3）物体在传送带上的加速度 $a=\frac{μmg}{m}=μg$．
经过的时间$t=\frac{{v}_{2}-{v}_{0}}{a}$．
传送带移动的距离s=v₂t．
W=μmgs．
解得：$W=m（{{v}_{2}}^{2}-{v}_{2}\sqrt{2gh}）$=1×$（36-6×\sqrt{25}）$=6J．
答：（1）物体到达曲面底端时的速度大小5m/s．（2）物体滑离传送带右端的速度大小3.6m/s．（3）传送一个物体电动机对传送带多做的功6J．

点评 本题综合考查了机械能守恒定律、动能定理和能量守恒定律，综合性较强，知道电动机多做的功等于摩擦力对传送带做功的大小．