Question

在如图所示的直角坐标系中，第二象限有沿y轴负方向的匀强电场E₁，第三象限存在沿x轴正方向的匀强电场E₂，第四象限中有一固定的点电荷．现有一质量为m的带电粒子由第二象限中的A点（-a，b）静止释放（不计重力），粒子到达y轴上的B点时，其速度方向和y轴负方向的夹角为45°，粒子在第四象限中恰好做匀速圆周运动，经过x轴上的C点时，其速度方向与x轴负方向的夹角为60°，求：
（1）E₁和E₂之比；
（2）点电荷的位置坐标．

Answer 1

分析：（1）先分析粒子的运动情况：粒子在第二象限在电场力作用下向下做匀加速直线运动，根据牛顿第二定律和运动学公式结合求出电场强度E₁与末速度、b、比荷等量的关系式；进入第三象限做类平抛运动，运用运动的分解法研究，也由牛顿第二定律和运动学公式结合求出电场强度E₂与初速度、b、比荷等量的关系式，即可求出E₁和E₂之比；
（2）粒子在第四象限中做匀速圆周运动，由几何关系求点电荷的位置坐标．

解答：解：（1）设粒子在第二象限中的运动时间为t₁，进入第三象限时的速度为v₀，有：
   b=

1

2

?

qE1

m

t

2 1

，b=

1

2

v0t1
设粒子在第三象限中的运动时间为t₂，在B点速度为v，x轴方向的分速度为v_x，则：
   v=

2

v0，
   v_x=v₀，
   a=

1

2

?

qE2

m

t

2 2

，
   a=

1

2

vxt2
由以上各式得：

E1

E2

=

a

b

，t₂=

2a

v0

，
（2）设O、B的间距为l，粒子做圆周运动的半径为r，则：
  l=v₀t₂=2a
  l=rcos45°+rsin30°
由以上两式得 r=4a（

2

-1）
所以点电荷的位置坐标：x_D=rsin45°=2a（2-

2

），y₀=-（l-rcos45°）=2a（1-

2

）
答：
（1）E₁和E₂之比是a：b；
（2）点电荷的位置坐标为[2a（2-

2

），2a（1-

2

）]．

点评：本题是带电粒子在组合场中运动的问题，对于直线加速运动，根据牛顿第二定律和运动学公式结合研究；对于类平抛运动，要熟练运用运动的分解处理；对于匀速圆周运动，画轨迹是基本方法．