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15.甲、乙两卫星在同一轨道平面内沿同一方向绕地球做匀速圆周运动,某时刻两卫星位于地球两侧、并和地心在同一直线上,从此时刻起,经过t时间,甲与地心连线和乙与地心连线第二次互相垂直,若甲卫星做圆周运动的周期为T,地球的质量为M,引力常量为G,则(  )
A.再经t时间,甲、乙两卫星相距最近
B.甲卫星做圆周运动的半径为$\root{3}{\frac{4{π}^{2}}{GM{T}^{2}}}$
C.乙卫星做圆周运动的周期$\frac{4Tt}{4t-T}$
D.乙卫星做圆周运动的半径$\frac{1}{4}$$\root{3}{\frac{GM{T}^{2}(4t+3T)^{2}}{{π}^{2}{t}^{2}}}$

分析 甲、乙两卫星相距最近时,甲、乙两卫星和地心在同一直线上,且两卫星位于地球同侧.根据万有引力等于向心力,求甲卫星做圆周运动的半径.甲与地心连线和乙与地心连线第二次互相垂直时,甲比乙多转$\frac{π}{4}$.由此列式求乙卫星做圆周运动的周期,再由万有引力等于向心力,求乙卫星做圆周运动的半径.

解答 解:A、经过t时间,甲与地心连线和乙与地心连线第二次互相垂直,甲比乙多转$\frac{π}{4}$.再经t时间,甲比乙多转π,两卫星相距最近.故A正确.
B、甲卫星做圆周运动,由G$\frac{M{m}_{甲}}{{r}_{甲}^{2}}$=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$r,得甲卫星做圆周运动的半径为 r=$\root{3}{\frac{GM{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$,故B错误.
C、根据$\frac{π}{4}$=$\frac{2π}{T}$t-$\frac{2π}{{T}_{乙}}$t,解得乙卫星做圆周运动的周期为 T=$\frac{4Tt}{4t-T}$,故C正确.
D、乙卫星做圆周运动,由G$\frac{M{m}_{乙}}{{r}_{乙}^{2}}$=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}_{乙}^{2}}$r,解得乙卫星做圆周运动的半径为 r=$\root{3}{\frac{4GM{T}^{2}{t}^{2}}{{π}^{2}(4t-T)^{2}}}$,故D错误.
故选:AC

点评 本题关键是明确两个卫星的动力学原理:万有引力等于向心力,根据牛顿第二定律列式求解周期之比,通过比较相对运动,找出运动规律进行分析两卫星的位置关系.

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(1)通过cd棒电流的方向d→c(填“c→d”或“d→c”),区域Ⅰ内磁场的方向垂直于斜面向上,ab棒从开始下滑至EF的过程中,ab棒减少的机械能小于回路中产生的内能(填“大于”、“等于”或“小于”);
(2)当ab棒在区域Ⅱ内运动时cd棒中的电流大小;
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