Question

图为示波管的示意图，竖直偏转电极的极板长l，两板间距离d，极板右端与荧光屏距离L．由阴极发出的电子经电压U₀加速后，沿中心线进入偏转电压为U（U随时间变化的图象如图19所示）的竖直偏转电场．若电子由阴极逸出时的初速度、电子所受重力及电子之间的相互作用力均可忽略不计，电子经过偏转极所用的时间与周期T相比可不计．已知电子的电荷量e，质量m．
（1）推导出电子在离开竖直偏转电场时的侧移量与加速电压U₀和偏转电压U的关系式；
（2）要使电子束能够打在荧光屏上，求加在竖直偏转电极上交变电压的范围；
（3）求电子打在荧光屏上距中心点O的最大距离．

Answer 1

分析：分析：（1）电子在加速电场中，电场力做正功eU₀，根据动能定理求解加速后电子受到的大小．电子在偏转电场中做类平抛运动，水平方向做匀速直线运动，竖直方向做初速度为零的匀加速运动，代入运动学的公式即可求得电子在离开竖直偏转电场时的侧移量与加速电压U₀和偏转电压U的关系式；
（2）电子在偏转电场中做类平抛运动，水平方向做匀速直线运动，竖直方向做初速度为零的匀加速运动，电子刚好飞出偏转电场时，偏转距离为

d

2

．由牛顿第二定律和运动学公式求解竖直偏转电极上的电压．
（3）每个电子通过偏转电场的过程中，电场可视为稳定的匀强电场．当极板间加最大电压时，电子有最大偏转量，由牛顿第二定律和运动学公式电子通过偏转电压时最大偏转距离．电子离开电场后做匀速直线运动，水平方向的分速度等于v，电子离开偏转电场到达荧光屏的时间 t′=

L

vx

，电子离开偏转电场后在竖直方向的位移为y₂=v_y t′，打在荧光屏上的最大偏移量Y_m=y_m+y₂．

解答：解：（1）对于电子通过加速电场的过程，根据动能定理有 eU₀=

1

2

mv²
解得v=

2eU0 m

偏转电场 的场强：E=

U

d

电子在偏转电场中的加速度：a=

qE

m

电子穿过偏转电场的时间：t=

L

v

电子在偏转电场中 的偏转量：y=

1

2

at2
联立以上各式，解得：y=

UL2

4U0d

（2）设偏转电场电压为U₁时，电子刚好飞出偏转电场，则此时电子沿电场方向的位移恰为 y=

1

2

d，
即

d

2

=

UL2

4U0d

解得U1=

2d2U0

L2

，
所以，为使电子束不打在偏转电极上，加在偏转电极上的电压U应满足-

2d2U0

L2

＜U＜

2d2U0

L2

．
（3）每个电子通过偏转电场的过程中，电场可视为稳定的匀强电场．
当极板间加最大电压时，电子刚好从极板的边缘穿过电场，电子有最大偏转量．
电子飞出偏转电场时平行极板方向分速度v_x=v，
垂直极板方向的分速度v_y=a_yt=

eU1

md

t
电子离开偏转电场到达荧光屏的时间 t′=

L

v

电子离开偏转电场后在竖直方向的位移为y₂=v_y t′=

eU1L2

mdv2

电子打在荧光屏上的总偏移量Y_m=y_m+y₂
代入数据解得：电子打在荧光屏上的最大偏移量：Y_m=

d

L

(L+

L

2

)=

3

2

d．
答：（1）电子在离开竖直偏转电场时的侧移量与加速电压U₀和偏转电压U的关系式y=

UL2

4U0d

；
（2）要使电子束能够打在荧光屏上，求加在竖直偏转电极上交变电压的范围-

2d2U0

L2

＜U＜

2d2U0

L2

；
（3）求电子打在荧光屏上距中心点O的最大距离为

3

2

d．

点评：点评：本题中电子在加速电场中由动能定理求加速获得的速度，运用运动的分解法研究类平抛运动．