Question

10．如图所示，光滑绝缘半球槽的半径为R，半径0A水平，同时空间存在水平向右的匀强场，一质量为m的带电量为q的小球从槽的右端A处无初速度沿轨道滑下，滑到最低位置B，球对轨道的压力为2mg．求：
（1）电场强度的大小；
（2）小球过B点后能到达的最高点与半径0A的距离H；
（3）小球受到的最大支持力．

Answer 1

分析 （1）在B点，对小球进行受力分析，重力和支持力的合力提供向心力，根据向心力公式即可求解B点速度；从A到B的过程中，根据动能定理列式求出电场强度E的大小
（2）由动能定理可求得H．
（3）当速度最大时支持力最大，由向心力公式求解．

解答 解：（1）设小球运动到B点时速度为v，在B点，对小球进行受力分析，重力和支持力的合力提供向心力，根据向心力公式得：
       N-mg=$\frac{m{v}^{2}}{R}$  
    由于球对轨道的压力为2mg，
    所以球受到的支持力 N=2mg解得：v=$\sqrt{gR}$  做负功，
   从A到B根据动能定理：mgR-qER=$\frac{1}{2}$mv²        解得：E=$\frac{mg}{2q}$
  （2）设与oA的距离为H，则由动能定理：mgH-Eq（R+$\sqrt{{R}^{2}-{H}^{2}}$）=0
       解得H=$\frac{4}{5}$R
   （3）当小球速度最大时所受的支持力最大：球在滑动过程中最大速度的条件：是小球沿轨道运动过程某位置时切向合力为零，设此时小球和圆心间的连线与竖直方的  为θ，如图，
则：mgsinθ=Fcosθ   解得：tanθ=2

   由A处到最大速度位置得过程中，由动能定理得：
   mgRcosθ-$\frac{1}{2}$mgR（1-sinθ）=$\frac{1}{2}m{v}_{m}^{2}$
    解得：v_m=$\sqrt{（\sqrt{5}-1）gR}$
     又由：${F}_{N}-mgcosθ-Eqsinθ=m\frac{{v}_{m}^{2}}{R}$  可得：${F}_{N}=\frac{7\frac{1}{2}-\sqrt{5}}{\sqrt{5}}mg$
   
答：（1）电场强度的大小为$\frac{mg}{2q}$；
（2）小球过B点后能到达的最高点与半径0A的距离H为$\frac{4}{5}$R；
（3）小球受到的最大支持力为$\frac{7\frac{1}{2}-\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$mg．

点评 本题主要考查了动能定理及向心力公式的直接应用，要注意电场力方向的判断，难度适中