Question

甲、乙 两颗人造地球卫星在同一轨道平面上的不同高度处同向运行，甲距地面高度为地球半径的0.5倍，乙甲距地面高度为地球半径的5倍，两卫星在某一时刻正好位于地球表面某处的正上空，试求：
（1）两卫星运行的速度之比；
（2）乙卫星至少经过多少周期时，两卫星间的距离达到最大？

Answer 1

分析：卫星的向心力由万有引力提供，

GMm

r2

=

mv2

r

，即可求出它们的速度关系；卫星间的距离第一次最大时，它们转过的角度差π．

解答：解：（1）卫星的向心力由万有引力提供，

GMm

r2

=

mv2

r

，
得：v=

GM r

所以：

v1

v2

=

r2 r1

=

1+5 1+0.5

=

2

1

（2）卫星的向心力由万有引力提供：

GMm

r2

=m

4π2r

T2

得：T=

4π2r3 GM

所以：

T甲

T乙

=

r 3 1 r 3 2

=

1

8

又因为卫星间的距离第一次最大时，它们转过的角度差π：

2π

T甲

t-

2π

T乙

t=π
解得：t=

T乙

14

答：（1）两卫星运行的速度之比2：1；
（2）乙卫星至少经过

T乙

14

周期时，两卫星间的距离达到最大．

点评：该题考查万有引力定律的一般应用，其中卫星间的距离第一次最大时，它们转过的角度差π是解决问题的关键．属于中档题目．