Question

13．相距为L=2m、质量均为m的两小物块A、B，静止放在足够长的水平面上，它们与水平面间的动摩擦因数均为μ=0.2．现在用一个F=0.3mg的水平向右的恒力推A，A开始向右运动，并与B发生多次弹性碰撞，且每次碰撞时间极短，取g=10m∕s²．求：
（1）第一次碰撞后B的速度大小；
（2）第五次碰撞后至第六次碰撞前B的运动时间；
（3）B运动的总路程．

Answer 1

分析 （1）第一次碰撞前，推力和滑动摩擦力做功，根据动能定理求解第一次碰撞前A的速度大小，由于发生弹性碰撞，A、B的动量和机械能均守恒，即可求得碰后B的速度大小；
（2）由于质量相等，两个物体交换速度，根据牛顿第二定律和运动学公式分别研究第一次、第二次…第n次碰撞后B的速度大小，即可求得第五次碰撞后至第六次碰撞前B的运动时间；
（3）总结出第n次碰后到第n+1次碰前B的运动位移，运用数学知识求解总路程．

解答 解：（1）A匀加速L，第一次碰前A的速度设为v_A1，由动能定理得：
（F-μmg）L=$\frac{1}{2}$mv_A1²-0…①
解得：v_A1=$\sqrt{\frac{gL}{5}}$，
A与B发生第一次弹性碰撞，遵守动量守恒和机械能守恒，设碰后速度分别为v_A1′、v_B1′，以向右为正方向，由动量守恒定律得：
mv_A1=mv_A1′+mv_B1′…②
由机械能守恒定律得：$\frac{1}{2}$mv_A1²=$\frac{1}{2}$mv_A1′²+$\frac{1}{2}$mv_B1′^2…③
解得：v_A1′=0，v_B1′=$\sqrt{\frac{gL}{5}}$；
（2）第一次碰后，设经过t₁B停下，B和A位移分别为S_B1和S_A1，
t₁=$\frac{{v}_{B1}′}{μg}$…④
s_B1=$\frac{{v}_{B1}^{2}}{2μg}$…⑤
s_A1=$\frac{1}{2}$（$\frac{F-μmg}{m}$）t₁²…⑥
解得t₁=$\sqrt{\frac{5L}{g}}$，s_B1=$\frac{L}{2}$，s_A1=$\frac{L}{4}$，
由于S_B1＞S_A1，因此第2次碰前，B已经停下．设第2次碰前A的速度为v_A2，
（F-μmg）•$\frac{1}{2}$L=$\frac{1}{2}$mv_A2²-0…⑦
A与B发生第2次弹性碰撞，遵守动量守恒和机械能守恒，碰后速度交换，设碰后速度分别为v'_A2，v'_B2
解得v'_A2=0，v'_B2=$\sqrt{\frac{gL}{10}}$，同理依此类推，归纳得第n次碰后B的速度为：
v'_Bn=$\sqrt{\frac{gL}{5×{2}^{n-1}}}$，
第n次碰后到第n+1次碰前B的运动时间为：t_n=$\frac{v{′}_{Bn}}{μg}$，
由此得：t₅=$\sqrt{\frac{5L}{16g}}$；
（3）第n次碰后到第n+1次碰前B的运动位移：
s_Bn=$\frac{{v}_{Bn}^{2}}{2μg}$，s_Bn=s_B1+s_B2+s_B3+…+s_Bn=$\frac{1}{2}$L+$\frac{1}{{2}^{2}}$L+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$L=L，
另解最终AB靠在一起停下，由能量守恒得：
F（L+S_B）=μmg（L+S_B）+μmgS_B，
解得：S_B=L；
答：（1）第一次碰撞后B的速度大小为$\sqrt{\frac{gL}{5}}$；
（2）第五次碰撞后至第六次碰撞前B的运动时间为$\sqrt{\frac{5L}{16g}}$；
（3）B运动的总路程为L．

点评 本题是周期性碰撞类型，运用数学归纳法总结规律是关键．对于第3问也这样求解：最终AB靠在一起停下，由能量守恒得：F（L+S_B）=μmg（L+S_B）+μmgS_B解得S_B=L．