Question

16．学校天文学社招募新社员，需要解决以下问题才能加入．请你尝试一下．已知火星半径为R，火星的卫星“火卫一”距火星表面高度为H，绕行速度为V，质量为M、m相距为L的两物体间引力势能公式为E_p=$\frac{-GMm}{L}$．
求：（1）火星的质量M；
（2）火星的第二宇宙速度即物体脱离火星引力所需的发射速度V．（提示：物体在只受万有引力作用下运动满足机械能守恒定律．）

Answer 1

分析 （1）根据万有引力提供圆周运动运动向心力求中心天体的质量M；
（2）根据机械能守恒定律求出脱离火星要克服火星引力做功，根据势能表达式求解火星的发射速度．

解答 解：（1）“火卫一”的万有引力提供向心力，有：
$\frac{GMm}{（R+H）^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{R+H}$
得：M=$\frac{（R+H）{v}^{2}}{G}$
（2）根据开普勒定律，物体脱离火星引力时离火星距离足够大，绕行速度为V=0即动能为0，势能也为0由机械能守恒得：
$-\frac{GMm}{R}+\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}=0$
解得：${v}_{2}=\sqrt{\frac{2GM}{R}}$=$\sqrt{\frac{2（R+H）}{R}}v$
答：（1）火星的质量M为$\frac{（R+H）{v}^{2}}{G}$；
（2）火星的第二宇宙速度即物体脱离火星引力所需的发射速度为$\sqrt{\frac{2（R+H）}{R}}v$．

点评 本题要求能够根据引力势能的表达式，写出飞船在近地点和远地点的机械能的表达式，根据飞船在椭圆轨道上机械能守恒，进行运算．