Question

(22分)如图（a），小球甲固定于水平气垫导轨的左端，质量m=0.4kg的小球乙可在导轨上无摩擦地滑动，甲、乙两球之间因受到相互作用而具有一定的势能，相互作用力沿二者连线且随间距的变化而变化。现已测出势能随位置x的变化规律如图（b）中的实线所示。已知曲线最低点的横坐标x₀=20cm，虚线①为势能变化曲线的渐近线，虚线②为经过曲线上某点的切线。

（1）将小球乙从x₁=8cm处由静止释放，小球乙所能达到的最大速度为多大？
（2）假定导轨右侧足够长，将小球乙在导轨上从何处由静止释放，小球乙不可能第二次经过x₀=20cm的位置？并写出必要的推断说明；
（3）若将导轨右端抬高，使其与水平面的夹角α=30°，如图(c)所示。将球乙从x₂=6cm处由静止释放，小球乙运动到何处时速度最大？并求其最大速度；
（4）在图(b)上画出第（3）问中小球乙的动能E_k与位置x的关系图线。

Answer 1

（1）（2）见解析（3）0.55m/s（4）见解析

（1）(6分)球乙运动到位置时势能最少，速度最大，
能量守恒：，                                       
解出                               
（2）(6分)在0<x<6cm区间内将小球乙由静止释放，不可能第二次经过x₀。          
原因： 在0<x<20cm区间内两球之间作用力为排斥力，在20cm <x<∞区间内两球之间作用力为吸引力，无穷远处和6cm处的势能均为0.28J。若小球乙的静止释放点在6cm <x<∞区间，小球乙将做往复运动，多次经过x₀=20cm的位置。而静止释放点在0<x<6cm区间内时，初态势能大于0.28J，小球乙将会运动到无穷远处而无法返回，只能经过x₀位置一次。                   
（3）(6分)x₃=12cm处的切线斜率 ，
表明此处乙球受到甲球2N的排斥力，                                  
乙球此处受到重力的分力                    
所以，乙球在x₃=12cm处时，所受合外力等于零，速度最大，              
从图中读出x₃=12cm处的势能E_p3=0.1J，x₂=6cm处的势能E_p2=0.28J，      
能量守恒：，                
解出==……=m/s =0.55m/s     
（4）(4分)作图要求：
三个关键点的位置正确：
x₂=6cm处的动能E_k=0；                                               
x₃=12cm处的动能E_k=0.06J；                                      
x₄=20cm处的动能E_k=0                                                
曲线要求平滑，斜率变化正确。                                         

本题考查的是两个物体间相互作用力与势能的关系问题，首先根据能量守恒势能全部转化为动能时速度最大计算出速度；然后根据相互作用引力与斥力的变化情况和相互作用势能可分析出小球的释放位置；根据受力分析与能量守恒可解出速度；最后把握几个关键点的位置即可作图；