Question

【题目】如图所示，有一个用折射率为n＝的透明材料做成的正方体，其底面ABCD为边长等于2R的正方形，在该正方形ABCD的中心处放置一点光源S，已知真空中光速为c，不考虑光线在界面上多次反射，求：

（1）光自光源S出发到从正方体的四个侧面（不包括顶面A′B′C′D′）射出所能经历的最长时间.

（2）光能从正方体四个侧面上射出部分的总面积。

Answer 1

【答案】（1）光自光源S出发到从正方体的四个侧面（不包括顶面A′B′C′D′）射出所能经历的最长时间为 ；

（2）光能从正方体四个侧面上射出部分的总面积为＝（6π﹣4﹣12α）R2。

【解析】

（1）光从光源S发出到从四个侧面射出经历的最长时间为恰好在侧面发生全反射的情形，

设此时入射角为θ，则有：sinθ＝1/n①

把n＝代入①解得：sinθ＝，即：θ＝60° ②

则经历最长时间的光在透明材料内经过的路径长度：L＝2R，

设经历最长时间的光在介质中的传播时间为t，则：L＝vt，

其中：v＝c/n

解得： t＝；

（2）考虑光到达任意一个侧面并恰好发生全反射的情况，分析可知，在此侧面上射出光线部分的区域为半个圆面（其圆心为光源S点在此侧面上的投影点S′，半径为R）与侧面的公共部分，即图中的阴影部分，可算得各相关边长如图所示，由几何知识，可表达一个面上的出射面积为：，

四个侧面总的出射面积为：S总＝4S，解得：S总＝（6π﹣4﹣12α）R2，其中：tanα＝；