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【题目】如图所示为一种子母球表演,质量分别为m3m的两个小球AB静止在地面上方,B球距离地面的高度h=0.8mA球在B球的正上方,让两小球同时由静止释放。设所有碰撞都是弹性碰撞,重力加速度大小g=10m/s2,忽略球的直径、空气阻力及碰撞时间。

1)求球B第一次落地时球A的速度大小;

2)若球B在第一次上升过程中就能与球A相碰,A球开始下落时距地面高度H的取值范围;

3)在(2)情形下,要使球A第一次碰后能到达比其释放点更高的位置,求H应满足的条件。

【答案】123

【解析】

1AB同时由静止释放,B落地时,两球的速度大小相等,有:

代入数值,得

2)球B下落过程与反弹上升的过程具有对称性。设B往返时间为t,有:

设时间t内球A自由下落的高度为hA,有

要保证B在第一次上升过程中与A相碰,球A自由下落的高度应大于初始时两球的高度差,即

依题意:

~⑤联立,解得:

解法二:

B反弹后,AB相对运动的速率为,设AB经时间相碰,有

要保证B在第一次上升过程中与A相碰,应小于B上升到最高点的时间,即

依题意:

~④联立,解得:

3)设两球相碰前后,球A的速度分别为,球B的速度分别为。发生弹性碰撞,两球相碰前后的动量守恒,总动能保持不变。取向下的方向为正,有

设球B反弹后经时间t1与球A相碰,此时间内球A下落的高度()与球B上升的高度()之和等于初始时两球的高度差(H-h

即:

由运动学规律,有

要使A第一次碰后能到达比释放点更高的位置,碰后A的速率应大于碰前的速率

~联立,得

~联立求解过程

由⑥⑦得:

由⑧⑨得:

由⑧⑩得:

代入得:

联立,得:

解得:

结合④,知

解法二:

要使A第一次碰后能到达比释放点更高的位置,需要在A下落过程中与B相碰,且碰后A的速率大于碰前的速率。

分析临界情况:当A碰后与碰前速率刚好相等时,根据能量守恒,A球碰后瞬间动能不变,B球碰后瞬间动能也不变,所以A原速反弹,B也原速反弹。

设碰前A的速度大小为B的速度大小为,两球动量变化大小相等,所以有

2m2(3m),即3

B反弹后,AB相对运动的速率为,设AB经时间相碰,有

由运动学规律,有

~⑨联立,得

要使A第一次碰后能到达比释放点更高的位置,需要满足:

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