Question

如图所示，V形细杆AOB能绕其对称轴OO′转动，OO′沿竖直方向，V形杆的两臂与转轴间的夹角均为α=45°．两质量均为m=0.1kg的小环，分别套在V形杆的两臂上，并用长为l=1.2m、能承受最大拉力F_max=4.5N的轻质细线连结，环与臂间的最大静摩擦力等于两者间弹力的0.2倍．当杆以角速度ω转到时，细线始终处于水平状态，取g=10m/s²．
（1）求杆转动角速度的最小值ω_min；
（2）将杆的角速度从（1）问中求得的最小值开始缓慢增大，直到细线断裂，求细线断裂时转动的角速度ω_m；
（3）求角速度从ω_min增大到ω_m的过程中杆对每个环所做的功．

Answer 1

分析：（1）角速度最小时，环受重力、支持力和最大静摩擦力（沿杆向上），正交分解后根据牛顿第二定律列式；
（2）细线断裂前瞬间，环受重力、拉力、支持力和最大静摩擦力（沿杆向下），正交分解后根据牛顿第二定律列式；
（3）对环运用动能定理列式求解．

解答：解：（1）角速度最小时，对环受力分析，如图所示：
根据牛顿第二定律，有：
F_Nsin45°+f_maxcos45°=mg            …①
F_Ncos45°-f_maxsin45°=mω

2 min

r        …②
其中：f_max=μF_N                     …③
r=

l

2

联立解得：ω_min=

10

3

rad/s≈3.33rad/s    …④
（2）当小环有上滑趋势，细线拉力达到最大时，杆转动的角速度最大，最大静摩擦力反向，根据牛顿第二定律，有：
F_Nsin45°-f_maxcos45°=mg            …⑤
F_max+F_Ncos45°-f_maxsin45°=mω

2 max

r   …⑥
解得：ω_max=10rad/s                 …⑦
（3）角速度从ω_min增大到ω_m的过程中，杆对环的力是变力，重力不做功，故：
W=

1

2

m(r

ω

max

)2-

1

2

m

(rω

min

)2=

1

2

×0.1×(10×0.6)2-

1

2

×0.1×(3.33×0.6)2=1.6J  
答：（1）求杆转动角速度的最小值为3.33rad/s；
（2）细线断裂时转动的角速度为10rad/s；
（3）角速度从ω_min增大到ω_m的过程中杆对每个环所做的功wei 1.6J．

点评：本题关键是受力分析后明确向心力来源，然后根据牛顿第二定律列式求解；对于向心力公式，江苏等一些省市考纲中明确规定只考虑各个分力同向时的情况．