Question

12．如图所示，一轻绳长为L，下端拴着质量为m的小球（可视为质点），当球在水平面内做匀速圆周运动时，绳子与竖直方向间的夹角为θ，已知重力加速度为g．求：
（1）绳的拉力大小F；
（2）小球做匀速圆周匀速的角速度；
（3）小球做匀速圆周运动的周期T．

Answer 1

分析 （1）根据小球竖直方向上平衡求出绳子的拉力大小．
（2、3）小球靠重力和拉力的合力提供向心力，结合牛顿第二定律求出小球做圆周运动的角速度和周期．

解答 解：（1）设绳子的拉力为F，拉力在竖直方向的分力等于重力，则有：Fcosθ=mg
F=$\frac{mg}{cosθ}$；
（2、3）对小球，小球所受重力和绳子的拉力的合力提供了向心力，得：
mgtanθ=mr$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$=mrω²，
其中：r=Lsinθ
解得：T=2π$\sqrt{\frac{Lcosθ}{g}}$，ω=$\frac{2π}{T}$=$\sqrt{\frac{g}{Lcosθ}}$．
答：（1）绳子的拉力大小为$\frac{mg}{cosθ}$；
（2）小球做匀速圆周匀速的角速度为$\sqrt{\frac{g}{Lcosθ}}$；
（3）小球做匀速圆周运动的周期T为2π$\sqrt{\frac{Lcosθ}{g}}$．

点评 该题是一个圆锥摆模型，对于圆周摆，在竖直方向上受力平衡，在水平方向上的合力提供向心力，结合牛顿第二定律进行求解，难度不大．