Question

17．如图所示，两木块的质量为m、M，中间弹簧的劲度系数为k，弹簧下端与M连接，m与弹簧不连接，现将m下压一段距离释放，它就上下做简谐运动，振动过程中，m始终没有离开弹簧．试求：
（1）m振动的振幅的最大值．
（2）m以最大振幅振动时，M对地面的最大压力．
（3）若m与弹簧也连在一起，要使m振动过程中，M不离开地面，m振动的最大加速度和最大振幅多少？
（4）在第（3）中M对地面的最大压力多大？

Answer 1

分析 （1）要使m振动过程中始终不离开弹簧，m振动的最大振幅对应m振到最高点时，弹簧处于原长状态，或对应m在最低点时弹簧的压缩量．
（2）m振动到最低点时，弹簧对M的压力最大，M对地面的压力也最大．
（3）撤去外力后，m以未加压力时的位置为平衡位置做简谐振动，当M刚好要离开地面时，m处于最高点时，m的加速度最大，根据牛顿第二定律即可求最大加速度．
（4）振幅等于物体离开平衡位置的最大距离．当m运动到最低点时，M对地面的压力最大．根据对称性和牛顿第二定律求M对地面的最大压力．

解答 解：（1）在平衡位置时，设弹簧的压缩量为x₀有：kx₀=mg．
要使m振动过程中不离开弹簧，m振动的最高点不能高于弹簧原长处，所以m振动的振幅的最大值为：A=x₀=$\frac{mg}{k}$
（2）m以最大振幅A振动时，振动到最低点，弹簧的压缩量最大，为：2A=2x₀=$\frac{2mg}{k}$，
对M受力分析可得：F_N=Mg+k•$\frac{2mg}{k}$=Mg+2mg，
由牛顿第三定律得，M对地面的最大压力为Mg+2mg．
（3）在m运动过程中，弹簧对m、M施加的弹力的方向可以向上也可以向下．选M为研究对象，刚好始终不离开地面，即N_min=0．
由平衡条件F+N=Mg，
可知F_max=Mg．此时，弹簧处于伸长状态，木块m的加速度最大，为：a_max=$\frac{{F}_{max}+mg}{m}$=$\frac{（M+m）g}{m}$．
在最低点时，设m受到的弹力为F′，则：F′-mg=-ma_max
又：F′=kA′
所以：A′=$\frac{Mg+mg}{k}$
（4）要使木块M对地面的压力最大，此时弹簧对M的弹力方向应向下．此时，弹簧处于压缩状态，选M为研究对象，对其受力分析有：N′=F′+Mg．要使N′最大，则F′最大．这里要注意，F_max′≠F_max=Mg．根据木块m做简谐运动的特点，在m运动到最高、最低两点的加速度具有对称性，大小相等．在最低点，对m有：
F_max′-mg=ma_max，a_max=$\frac{（M+m）g}{m}$．
联立两式得：N_max′=Mg+F_max′=2（M+m）g
根据牛顿第三定律有：N_max=N_max′=2（M+m）g．
答：（1）m振动的振幅的最大值是$\frac{mg}{k}$；
（2）m以最大振幅振动时，M对地面的最大压力是Mg+2mg．
（3）若m与弹簧也连在一起，要使m振动过程中，M不离开地面，m振动的最大加速度是$\frac{（M+m）g}{m}$，最大振幅是$\frac{Mg+mg}{k}$；
（4）在第（3）中M对地面的最大压力是2（M+m）g．

点评 本题要注意撤去外力后，A以未加压力时的位置为平衡位置做简谐振动，当B刚好要离开地面时，A处于最高点时，A的加速度最大，A处于最低点时，弹簧对B的压力最大，难度适中．