Question

如图所示，质量为m的小球，由长为L的细线系住，细线的另一端固定在A点，AB是过A点的竖直线，在AB线上钉铁钉D，若线能承受的最大拉力为9mg，现将小球拉直成水平，然后静止释放，若小球能绕钉子在竖直平面内做完整的圆周运动，求钉子位置到A点距离的取值范围．（不计线与钉子碰撞时的能量损失）

Answer 1

分析：小球在竖直平面内要做完整的圆周运动，最高点的速度应大于等于

gr

，碰钉子后的圆周运动的半径越小越容易满足条件；根据机械能守恒定律和牛顿第二定律分别列式后联立求解出临界半径．

解答：解：设小球能绕钉子在竖直平面内恰好做完整的圆周运动时，半径为r₁，则
在最高点：mg=m

v 2 1

r1

根据机械能守恒得：mg（L-r₁）=

1

2

m

v

2 1

联立上两式解得，r₁=

1

2

L，此时钉子位置到A点距离为L-r₁=

1

2

L．
设线能拉力达到最大时半径为r₂，则有
在最低点，9mg-mg=m

v 2 2

r2

根据机械能守恒得：

1

2

m

v

2 2

=mgL
联立上两式解得，r₂=

1

4

L，此时钉子位置到A点距离为L-r₂=

3

4

L．
故钉子位置到A点距离的取值范围为

1

2

L～

3

4

L．
答：钉子位置到A点距离的取值范围为

1

2

L～

3

4

L．

点评：本题关键找出临界过程，然后根据机械能守恒定律和牛顿第二定律列式后联立求解．