Question

8．如图所示，在光滑水平面上有一块长度为L的木板B，其上表面粗糙．在其左端有一个光滑的$\frac{1}{4}$圆弧槽C与长木板接触但不粘连，圆弧槽面下端的切线恰与木板的上表面相平，B、C静止在水平面上．现有可视为质点的滑块A以水平向左的初速度v₀从右端滑上B，并以$\frac{{v}_{0}}{2}$的速度滑离B、滑上C，并恰好能到达C的最高点．已知A、B、C的质量分别为m、2m、2m，求：
（1）滑块A与木板B上表面间的动摩擦因数μ；
（2）$\frac{1}{4}$圆弧槽C的半径R．

Answer 1

分析 1、当A在B上滑动时，A与BC整体发生相互作用，由于水平面光滑，A与BC组成的系统动量守恒列出等式，由能量守恒得知系统动能的减少量等于滑动过程中产生的内能列出等式，联立求解．
2、当A滑上C，B与C分离，A、C发生相互作用，A、C组成的系统水平方向动量守恒，由A、C组成的系统机械能守恒列出等式，联立求解

解答 解：①对ABC整体，从A滑上B到刚离开B时，设B和C此刻的速度为v_B，由动量守恒有：$m{v_0}=m•\frac{v_0}{2}+4m{v_B}$得 ${v_B}=\frac{v_0}{8}$
由能量守恒，有：$μmgL=\frac{1}{2}m{v_0}^2-\frac{1}{2}m（\frac{v_0}{2}{）^2}-\frac{1}{2}×4mv_B^2$
得：$μ=\frac{{11{v_0}^2}}{32gL}$
②从A滑上C到“恰能到达C最高点”，设A和C此刻共同速度为v_C，研究A和C系统，由动量守恒有：$m•\frac{v_0}{2}+2m•\frac{v_0}{8}=3m{v_C}$得${v_C}=\frac{v_0}{4}$
A和C系统机械能守恒，有：$mgR=\frac{1}{2}m（\frac{v_0}{2}{）^2}+\frac{1}{2}×2m（\frac{v_0}{8}{）^2}-\frac{1}{2}×3mv_C^2$
解得    $R=\frac{{3{v_0}^2}}{64g}$
答：（1）滑块A与木板B上表面间的动摩擦因数$\frac{11{{v}_{0}}^{2}}{32gL}$；
（2）$\frac{1}{4}$圆弧槽C的半径$\frac{3{{v}_{0}}^{2}}{64g}$

点评 解决该题关键要能够熟练运用动量守恒定律和能量守恒定律列出等式求解