Question

9．在xOy平面内的一、四象限中，x轴上方有范围足够大的匀强磁场，磁感应强度为B，方向垂直纸面向外，x轴下方有范围足够大的匀强电场，场强为E，方向与y轴正方向相同．在xOy平面内有一点P，P点到O点的距离为L，直线OP与x轴正方向的夹角为θ，如图所示．现有一个电量为q、质量为m的带正电粒子位于y轴负半轴上的某点，忽略粒子重力．

（1）将粒子由静止释放，该粒子在第一次由磁场返回电场的过程中恰好通过P点，求该粒子从O点运动到P点所需要的时间．
（2）若在y轴上N点将粒子由静止释放，粒子在第二次由磁场返回电场的过程中恰好通过P点，且sinθ=$\frac{1}{6}$，求N点到O点的距离．

Answer 1

分析 （1）粒子在电场中加速后进入磁场，在匀强磁场中做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律求出轨迹半径与速度的关系，由圆周运动的规律得到周期，由几何关系求出轨迹对应的圆心角，即可求得时间．
（2）画出粒子的运动轨迹，由数学知识求出轨迹半径，由牛顿第二定律求出粒子在磁场中运动速率，再由动能定理求解NO间的距离．

解答 解：（1）粒子在电场中加速后进入磁场，在匀强磁场中做匀速圆周运动，设速度为v₁、半径为r₁，根据洛仑兹力表达式和牛顿第二定律有　
$q{v_1}B=m\frac{v_1^2}{r_1}$  ①

解得 　 ${r_1}=\frac{{m{v_1}}}{qB}$
周期为 $T=\frac{{2{π_{\;}}{r_1}}}{v_1}$
联立解得　　$T=\frac{2πm}{qB}$ ②
设粒子通过圆弧所对应的圆心角为φ，由几何关系得：φ=π-2θ
$t=\frac{T}{2π}×ϕ=\frac{（π-2θ）m}{qB}$ ③
（2）充OP与半径的夹角为α，此次粒子速度为v₂，半径为r₂，根据正弦定理得：
   $\frac{3{r}_{2}}{sinα}$=$\frac{{r}_{2}}{sinθ}$
解得 sinα=$\frac{1}{2}$
根据正弦定理有：$\frac{L}{sin（π-θ-α）}$=$\frac{{r}_{2}}{sinθ}$
解得 r₂=$\frac{Lsinθ}{sin（π-θ-α）}$=$\frac{（\sqrt{35}-\sqrt{3}）L}{16}$
根据r₂=$\frac{m{v}_{2}}{qB}$
解得 v₂=$\frac{（\sqrt{35}-\sqrt{3}）qBL}{16m}$
粒子在匀强电场中运动过程，由动能定理有：
  qEy=$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$
解得 y=$\frac{（19-\sqrt{105}）q{B}^{2}{L}^{2}}{256mE}$ 
答：
（1）该粒子从O点运动到P点所需要的时间为$\frac{（π-2θ）m}{qB}$．
（2）N点到O点的距离为$\frac{（19-\sqrt{105}）q{B}^{2}{L}^{2}}{256mE}$．

点评 本题是带电粒子在复合场中运动的类型，画出磁场中粒子的运动轨迹，运用三角、几何等数学知识研究粒子的轨迹半径是关键．