Question

(16分)2010 年上海世博会某国家馆内，有一“自发电”地板，利用游人走过此处，踩踏地板发电．其原因是地板下有一发电装置，如图⑴所示，装置的主要结构是一个截面半径为r、匝数为n的线圈，无摩擦地套在磁场方向呈辐射状的永久磁铁槽中．磁场的磁感线沿半径方向均匀分布，图⑵为横截面俯视图．轻质地板四角各连接有一个劲度系数为k的复位弹簧(图中只画出其中的两个)，轻质硬杆P将地板与线圈连接，从而带动线圈上下往返运动(线圈不发生形变)，便能发电．若线圈所在位置磁感应强度大小为B，线圈的总电阻为R₀，现用它向一个电阻为R的小灯泡供电．为便于研究，将某人走过时对板的压力使线圈发生的位移x随时间t变化的规律简化为图⑶所示．(弹簧始终处在弹性限度内，取线圈初始位置x＝0，竖直向下为位移的正方向)求：

⑴0～t₀时间内线圈中感应电流的大小及方向；
⑵t＝t₀/2时地板受到的压力；
⑶人踩踏一次地板所做的功．

Answer 1

⑴I＝，俯视逆时针方向；⑵F＝2kx₀＋；⑶W＝

试题分析：⑴由图⑶可知，线圈在0～t₀时间内向下做匀速运动，运动速度大小为v＝      ①
线圈在向下运动的过程中切割磁感线，其感应电动势为：E＝2πnBrv         ②
根据闭合电路欧姆定律可知，此时线圈中感应电流大小为：I＝        ③
由①②③式联立解得：I＝        ④
根据右手定则可以判断出感应电流的方向为俯视逆时针方向
⑵在线圈向下运动的过程中受到了磁场向上的安培力作用，大小为：＝2πnBrI         ⑤
根据胡克定律可知，在t＝t₀/2时刻，四根弹簧对地板向上的支持力增加了：ΔF＝4kΔx＝2kx₀     ⑥
由于地板、线圈构成整体，匀速运动，根据平衡条件可知人对地板的压力为：F＝＋ΔF      ⑦
由④⑤⑥⑦式联立解得：F＝2kx₀＋
⑶人在踩踏一次地板的过程中，线圈总位移为0，因此弹簧的弹性势能不变，但无论是线圈匀速向下运动，还是匀速向上运动，线圈都切割磁感线，且感应电动势大小不变，即回路中感应电流的大小不变，产生电热，根据功能关系有：W＝ΔE         ⑧
根据焦耳定律有：ΔE＝2I²(R＋R₀)t₀         ⑨
由④⑧⑨式联立解得：W＝