Question

13．如图所示的平面直角坐标系xoy中，C点在x轴上，OC=$\sqrt{3}$m，平面直角坐标系处于垂直纸面、磁感应大小B=9.1×l0^-6T的匀强磁场中，一电子从D点以速度v与x轴正方向成θ=60°沿图中虚线的圆弧到达A点，经过A点时电子的速度方向恰与x轴正方向相同，AC垂直x轴．已知电子质量为m=9.1×10^-31kg，电子的电荷量为e=1.6×10^-19C．电子的重力不计，求：
（1）磁场方向是垂直纸面向里还是向外；
（2）电子做圆周运动的轨道半径R，电子运动的速度v；
（3）电子从O点运动到A点的时间．

Answer 1

分析 （1）电子从O运动到A点，在A点，电子所受的洛伦兹力垂直于速度v向下，根据左手定则判断磁场方向．
（2）电子在匀强磁场中受洛伦兹力作用而做匀速圆周运动：①找圆心：过O点作垂直于速度v的直线OO′，过A点作垂直于速度v的直线AO′，O′即为电子做匀速圆周运动的圆心；②求半径：如图所示，根据几何关系求出电子运动轨迹的半径R，圆心角θ=60°，据半径公式R=$\frac{mv}{Bq}$求电子运动的速度大小．
（2）根据周期公式 T=$\frac{2πm}{Bq}$和t=$\frac{θ}{2π}$T求运动的时间t．

解答 解：（1）电子在磁场中的运动轨迹如图所示，根据左手定则判断可知，磁场垂直纸面向里．
（2）由几何关系知，sin60°=$\frac{OC}{R}$
解得：R=$\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=2m$，
由洛伦兹力提供向心力有：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
解得：v=$\frac{BqR}{m}=\frac{9.1×1{0}^{-6}×1.6×1{0}^{-19}×2}{9.1×1{0}^{-31}}=3.2×1{0}^{6}m/s$，
（3）电子在磁场中的运动周期为：T=$\frac{2πm}{Bq}$，
电子从O到A经历的时间：t=$\frac{θ}{2π}T=\frac{60°}{360°}T=\frac{1}{6}×\frac{2πm}{Bq}=\frac{π×9.1×1{0}^{-31}}{3×9.1×1{0}^{-6}×1.6×1{0}^{-19}}$=6.54×10^-7s
答：（1）磁场方向是垂直纸面向里；
（2）电子做圆周运动的轨道半径为2m，电子运动的速度为3.2×10⁶m/s；
（3）电子从O点运动到A点的时间为6.54×10^-7s．

点评 带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的问题，根据速度方向一定垂直于轨迹半径，正确地找出圆心、画出圆运动的轨迹是解题过程中要做好的第一步．再由几何知识求出半径r和轨迹对应的圆心角θ，再利用带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的半径公式r=$\frac{mv}{Bq}$和周期公式T=$\frac{2πm}{Bq}$求有关物理量．