Question

17．在天文学中，把两颗相距较近的恒星叫双星，已知两恒星的质量分别为m和M，两星之间的距离为L，两恒星分别围绕共同的圆心作匀速圆周运动，如图所示，求恒星运动的半径和周期．

Answer 1

分析 双星靠相互间的万有引力提供向心力，抓住角速度相等，向心力相等求出轨道半径之比，进一步计算轨道半径大小，再求解角速度的大小

解答 解：设M、m的轨道半径分别为r₁、r₂，角速度为ω，根据牛顿第二定律得：
对M有：G$\frac{Mm}{{L}^{2}}$=Mω²r₁ ①
对m有：G$\frac{Mm}{{L}^{2}}$=mω²（L-r₁） ②
由以上二式有：r₁=$\frac{m}{M+m}$L，r₂=L-r₁=$\frac{M}{M+m}$L
由①②解得：$ω=\sqrt{\frac{G（M+m）}{{L}^{3}}}$
周期为 T=$\frac{2π}{ω}=2πL\sqrt{\frac{L}{G（M+m）}}$
答：恒星M和m运动的半径分别为$\frac{m}{M+m}$L、$\frac{M}{M+m}$L，周期为$2πL\sqrt{\frac{L}{G（M+m）}}$．

点评 解决本题的关键掌握双星模型系统，知道它们靠相互间的万有引力提供向心力，向心力的大小相等，角速度的大小相等．