Question

19．如图所示，在匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向放置两个用细线相连的质量均为m的小物体A、B，它们到转轴的距离分别为r_A=20cm，r_B=30cm，A、B与盘间最大静摩擦力均为重力的k=0.4倍，现极其缓慢的增加转盘的角速度，试求：（答案可用根号表示）
（1）当细线上开始出现张力时，圆盘的角速度ω₁；
（2）当A开始滑动时，圆盘的角速度ω；
（3）当A即将滑动时，烧断细线，A、B运动状态如何？

Answer 1

分析 （1）抓住最大静摩擦力提供向心力，根据牛顿第二定律求出细线出现张力时圆盘的角速度．
（2）当A开始滑动时，B靠拉力和最大静摩擦力提供向心力，A靠最大静摩擦力和拉力的合力提供向心力，结合牛顿第二定律列式求解．
（3）根据静摩擦力和向心力的关系判断A、B的运动规律．

解答 解：（1）当细线上开始出现张力时，B与圆盘之间的静摩擦力达到最大值．
对B：$kmg=m{r}_{B}{{ω}_{1}}^{2}$，
即${ω}_{1}=\sqrt{\frac{kr}{{r}_{B}}}=\sqrt{\frac{0.4×10}{0.3}}rad/s=\frac{2}{3}\sqrt{30}$rad/s．
（2）当A开始滑动时，A、B所受静摩擦力均达最大，设此时细绳张力为T：
对B：$T+kmg=m{r}_{B}{ω}^{2}$，
对A：$kmg-T=m{r}_{A}{ω}^{2}$，
联立解得：$ω=\sqrt{\frac{2kg}{{r}_{A}+{r}_{B}}}=\sqrt{\frac{2×0.4×10}{0.2+0.3}}=4rad/s$．
（3）烧断细线时，绳的拉力消失，B所受静摩擦力不足以提供所需向心力，故将远离圆心；对A，拉力消失后，静摩擦力变小，提供所需向心力，故继续做圆周运动
答：（1）当细线上开始出现张力时，圆盘的角速度为$\frac{2}{3}\sqrt{30}rad/s$；
（2）当A开始滑动时，圆盘的角速度为4rad/s；
（3）B做离心运动，A继续做圆周运动．

点评 解决本题的关键知道A、B做圆周运动向心力的来源，抓住临界状态，结合牛顿第二定律进行求解．