Question

5．如图为机场行李货物传送装置简化图，由水平传送带直线AB和半圆BC两部分组成，传送带的速度大小恒为v=1m/s，AB长L=2m，圆弧半径R=1m．现将质量m=10kg的货物无初速度放上A端，货物与传送带间的动摩擦因数μ=0.5，货物能沿图中虚线轨迹运动．设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g=10m/s²，求：
（1）货物从A运动到C的总时间；
（2）若将传送带速度提高，在保证货物能传送的到C的前提下，传送带最大速度多大？

Answer 1

分析 （1）货物在摩擦力作用下在AB段先加速后匀速，求得货物在AB段的运动时间，在BC段货物做匀速圆周运动，由圆周半径和运动速度大小求得时间即可；
（2）货物在BC段圆周运动时最大静摩擦力提供圆周运动向心力，从而求得货物圆周运动的最大速度，再比较AB段的加速求出传送带的最大速度即可．

解答 解：（1）货物从A到B在摩擦力作用下先做匀加速运动，加速度大小为：
a=$\frac{f}{m}=\frac{μmg}{m}=μg=0.5×10m/{s}^{2}=5m/{s}^{2}$
货物匀加速运动的时间为：
${t}_{1}=\frac{v}{a}=\frac{1}{5}s=0.2s$
货物产生的位移：${x}_{1}=\frac{1}{2}a{t}_{1}^{2}=\frac{1}{2}×5×（\frac{1}{5}）^{2}m=0.1m$
所以在A到B过程中，货物匀速运动的位移为：
x₂=L-x₁=2-0.1m=1.9m
货物匀速运动的时间为：${t}_{2}=\frac{{x}_{2}}{v}=\frac{1.9}{1}s=1.9s$
综上可知，货物从A到B的总时间为：t=0.2+1.9s=2.1s
到达B后，货物在BC间做匀速圆周运动，所用时间为：$t′=\frac{{L}_{BC}}{v}=\frac{3.14×1}{1}s=3.14s$
所以货物从A到C的总时间：t_总=t+t′=2.1+3.14s=5.24s
（2）货物在BC段匀速圆周运动，由静摩擦力提供圆周运动向心力，据此有：
${f}_{max}=m\frac{{v}_{m}^{2}}{R}$
又最大静摩擦力等于滑动摩擦力，所以BC段的最大速度为：
${v}_{m}=\sqrt{\frac{{f}_{max}R}{m}}=\sqrt{\frac{0.5×10×10×1}{10}}m/s=\sqrt{5}m/s$
货物从AB段加速至最大速度时经过的位移为：x=$\frac{{v}_{m}^{2}-0}{2×5}m=\frac{1}{2}m＜L$
所以传送带的最大速度为$\sqrt{5}m/s$
答：（1）货物从A运动到C的总时间为5.24s；
（2）将传送带速度提高，在保证货物能传送的到C的前提下，传送带最大速度为$\sqrt{5}m/s$．

点评 解决本题的关键是掌握在滑动摩擦力作用下物体在传送带上的运动模型，知道在圆弧部分运动向心力由传送带间的静摩擦力提供．