Question

（2013?安徽模拟）光滑的长直斜面轨道固定在竖直平面内，与水平轨道BCD连接，水平轨道的BC段粗糙，CD段光滑，一根轻质弹簧一端固定在D处的竖直面上，另一端与质量为3m的物块b则好在C点接触（不连接），弹簧处于水平自然长度．将质量为m的物块a从斜面轨道上的A点由静止释放下滑．物块a与物块b第一次碰撞后一起向右压缩弹簧．已知A点的高度为h，BC=l，物块a、b与BC段水平轨道的动摩擦因数分别为μ₁=0.25和μ₂=0.4，重力加速度为g，物块a、b均可视为质点．求：
（1）物块a第一次经过B点时的速度；
（2）弹簧在形变过程中，所能获得的最大弹性势能；
（3）试讨论释放点高度h取何值时，a、b能且只能发生一次碰撞．

Answer 1

分析：（1）由机械能守恒求速度
（2）由动能定理和动量守恒求弹簧的弹性势能，系统的动能全部转化为弹簧的弹性，由能量守恒定律求解最大的弹性势能．
（3）由于物块b的加速度大小大于物块a的加速度大小，所以经过C点后，a、b两物块分离，同时也与弹簧分离．

解答：解：（1）物块a由A到B过程中，由机械能守恒定律得：mgh=

1

2

mv

2 1

所以第一次经过B点时的速度v1=

2gh

（2）物块a从B到C过程中，由动能定理得：
-μ1mgl=

1

2

mv

2 C1

-

1

2

mv

2 1

解得物块a在C点的速度
vC1=

2g(h-0.25l)

物块a、b在C点碰撞，根据动量守恒有：
mv_C1=4mv_C2
解得两物块在C点向右运动速度
vC2=

g(h-0.25l) 8

a、b将弹簧压缩过程中，系统a、b的动能转化为弹簧的弹性势能，有：
EPmax=

1

2

×4

mv

2 C2

=

mg(h-0.25l)

4

（3）a、b一起压缩弹簧后又返回C点时速度大小
v_C3=vC2=

g(h-0.25l) 8

由于物块b的加速度大小大于物块a的加速度大小，所以经过C点后，a、b两物块分离，同时也与弹簧分离．
讨论：①假设a在C处时速度为vC1=

2g(h-0.25l)

=0，即h=0.25l
要使a、b能够发生碰撞，则h＞0.25l
②假设物块a滑上斜面轨道又返回，最终停在水平轨道上P点，物块b在水平轨道上匀减速滑到P点也恰好停止．设PB=x，则CP=l-x，根据能量守恒
对a：μ1mg(l+x)=

1

2

mv

2 C3

对b：μ23mg(l-x)=

1

2

×3

mv

2 C3

由以上两式解得：
x=

3

13

l
h=

269

52

l
要使a、b只发生一次碰撞，则h≤

269

52

l
所以，当0.25l≤h≤

269

52

l时，a、b两物块能且只能发生一次碰撞．
答：（1）物块a第一次经过B点时的速度v1=

2gh

；
（2）弹簧在形变过程中，所能获得的最大弹性势能

mg(h-0.25l)

4

；
（3）当0.25l≤h≤

269

52

l时，a、b两物块能且只能发生一次碰撞．

点评：本题综合考查了机械能守恒定律、动量守恒定律和动能定理，对学生能力的要求较高，其中第三问难度较高．