Question

【题目】如图，一个半径为R的半球形的碗固定在桌面上，碗口水平，O点为其球心，碗的内表面及碗口是光滑的．一根轻质细线跨在碗口上，线的两端分别系有小球A和B ， 当它们处于平衡状态时，小球A与O点的连线与水平线的夹角为60°．

（1）求小球A与小球B的质量比mA：mB
（2）现将A球质量改为2m、B球质量改为m ， 且开始时A球位于碗口C点，由静止沿碗下滑，当A球滑到碗底时，求两球总的重力势能改变量；（B球未碰到碗壁）
（3）在（2）条件下，当A球滑到碗底时，求B球的速度大小．

Answer 1

【答案】
（1）

设绳的张力为T，对A球进行受力分析，有:

Nsin60°+Tsin60°=mAg

Ncos60°=Tcos60°

对B球进行受力分析，有 T=mBg

可解得：

（2）

A球的重力势能改变量为△EpA=﹣mAgR=﹣2mgR，

B两球的重力势能改变量为

所以A、B两球总的重力势能改变量为

（3）

当A球滑到碗底时，设A、B两球的速度分别为vA、vB，则vAcos45°=vB （1）

根据A、B两球总机械能守恒，有△EK+△Ep=0 （2）

即 （3）

联立以上三式，解得： （或 或 ）

【解析】（1）设绳的张力为T ， 对A球进行受力分析，有:
Nsin60°+Tsin60°=mAg
Ncos60°=Tcos60°
对B球进行受力分析，有 T=mBg
可解得： （2）A球的重力势能改变量为△EpA=﹣mAgR=﹣2mgR
B两球的重力势能改变量为
所以A、B两球总的重力势能改变量为 （3）当A球滑到碗底时，设A、B两球的速度分别为vA、vB ， 则vAcos45°=vB（1）
根据A、B两球总机械能守恒，有△EK+△Ep=0 （2）
即 （3）
联立以上三式，解得： （或 或 ）