Question

光滑绝缘水平面上固定一个光滑绝缘的斜劈，有一带电小球，质量m=1×10^-9kg，电荷量q=-6.28×10⁸C，小球紧靠在斜劈表面上，如图甲所示．空间充满相互垂直的匀强磁场和匀强电场，磁场方向竖直向下，磁感应强度大小为B=0.1T，电场沿水平方向且与斜劈底边垂直，电场强度大小按图乙所示规律变化，规定图示电场强度的方向为正方向．小球从t=0时刻由静止开始沿D→A方向滑动．已知sinθ=0.1045，cosθ=0.9945（算中取π=3.14，sinθ=0.1，cosθ=1）．求
（1）第1秒末粒子的速度大小
（2）第2秒内粒子离开斜边AD的最大距离
（3）第3秒内粒子能否离开斜劈？若能离开，离开时的速度多大？若不能离开，第3秒末的速度多大？

Answer 1

分析：（1）先假设不能离开斜边，受力分析，平行斜面方向做匀加速直线运动，根据牛顿第二定律和运动学公式求解出1s末速度；
（2）第2秒内电场力为零，粒子做匀速圆周运动，画出运动轨迹，根据洛伦兹力提供向心力列式求解；
（3）圆周运动的周期为1s，故2s末刚好回到斜面，求解出离开斜边需要的速度，以及达到这个速度需要的时间进行判断．

解答：解：（1）设第1秒末离开斜面，第1秒末的速度为v=at=

qE

m

tsinθ=62.8m/s
此时电场力在垂直斜面方向的分力为
qEcosθ=6.28×10^-7N
粒子受磁场力为f=qv1B=3.94×10-7N
磁场力小于电场力在垂直斜面方向上的分力，粒子没有离开斜面 
则第1秒末粒子的速度为62.8m/s．
（2）第2秒内电场力为零，粒子做匀速圆周运动，其周期为T=

2πm

qB

=1s
qv1B=m

v 2 1

r

r=

mv1

qB

=10m
粒子离开斜面的最大距离L=2r=20m
（3）设粒子离开斜面的速度为v₂
qv₂B=qEcosθ
v₂=100m/s
在斜面上运动的时间t=

v2

a

=

mv2

qEsinθ

=1.59s
说明粒子在第3秒内离开斜面        
答：（1）第1秒末粒子的速度大小为62.8m/s；
（2）第2秒内粒子离开斜边AD的最大距离20m；
（3）第3秒内粒子能离开斜劈；离开时的速度为100m/s．

点评：本题关键明确小球的运动规律，先匀加速直线运动、再匀速圆周运动、再匀加速直线运动；题目设计巧妙，第二秒做匀速圆周运动，周期恰好为1s，2s末回到斜边继续加速．