Question

南极冰架崩裂形成一座巨型冰山，随洋流漂近一个城市。有人设计了一个利用这座冰山来发电的方案，具体过程为：先将环境中一定量的空气装入体积可变的容器，在保持压强不变的条件下通过与冰山接触容器内空气温度降至冰山温度；使容器脱离冰山，保持其体积不变，让容器中的冰空气从环境中吸收热量，使其温度升至环境温度；在保持容器体积不变的情况下让空气从容器中喷出，带动发电装置发电。如此重复，直至整座冰山融化。已知环境温度，冰山的温度为冰的熔点，可利用的冰山的质量，为了估算可能获得的电能，设计者做出的假设和利用的数据如下：

1．空气可视为理想气体。

2．冰的熔解热；冰融化成温度为的水之后即不再利用。

3．压强为、体积为的空气内能。

4．容器与环境之间的热传导良好，可以保证喷气过程中容器中空气温度不变。

5．喷气过程可分解为一连串小过程，每次喷出的气体的体积都是，且远小于容器的体积。在每个小过程中，喷管中的气体在内外压强差的作用下加速，从而获得一定动能，从喷嘴喷出。不考虑喷出气体在加速过程中体积的改变，并认为在喷气过程中容器内的气体压强仍是均匀的，外压强的大气压。

6．假设可能获得的电能是总和的

7．当时，。

试根据设计者的假设，计算利用这座冰山可以获得的电能。

Answer 1

以表示环境中大气的压强，则初始时装入容器的空气的压强为，温度为，以表示其体积。当容器与冰山接触，达到平衡时，容器中空气的温度为，体积减小为，根据题意，空气经历的过程为等压过程，故有

                                                                                                           （1）

在这一过程中，容器中空气内能的增加量为

，                                                                                     （2）

大气所考察空气做功为

                                                                                             （3）

若以表示此过程中冰山传给容器中空气的热量，根据热力第一定律有

。                                                                                                 （4）

由以上四式得

                                                                                       （5）

（5）式给出的是负的，表示在这一过程中，实际上是容器中的空气把热量传给冰山。

容器中空气的温度降至冰山温度后，又经一过等容升温过程，即保持体积不变，温度从升至环境温度，并从周围环境吸热。若以表示所考虑空气的压强，则有

                                                                                                          （6）

设喷管的体积为，当喷管中的气体第一次被喷出时，容器中空气的压强由降到；根据题目给出的条件，有

，                                                                                          （7）

即                                                                                               （8）

喷出气体获得的动能

。                                                                                         （9）

当喷管中的空气第二次喷出后，容器中空气压强由降到，根据题给出的条件可得

                                                                                                  （10）

喷出气体获得的动能

。                                                                                         （11）

当喷管中的空气第次被喷出后，容器内空气的压强由降到，根据题给出的条件可得

                                                                                              （12）

喷出气体获得的动能

。                                                                                        （13）

如果经过次喷射后，容器中空气的压强降到周围大气的压强，即

，                                                                                                     （14）

这时喷气过程终止，在整过喷气过程中，喷出气体的总动能。

                                                                                    （15）

利用（8）到（13）式，（15）式可化成

，                             （16）

（16）式等号右边第1项方括号内是项的等比级数，故有

。                                                                        （17）

又，根据（8）、（10）、（12）、（14）各式可得

，                                                                                          （18）

对（18）式等式两边取自然对数得

。                                                                                      （19）

因，可利用近似公式把（19）进一步化简，即

                                                                                                    （20）

进而由（17）、（18）、（20）三式得

                                                                            （21）

将（1）、（6）代入（21）式，可得

。                                                                           （22）

根据题意，这些动能可转化成的电能为

。                                                                      （23）

以上讨论表明，要获得电能，冰山必须吸收的热量，整座冰山化掉可吸收的总热量

。                                                                                                （24）

因此可产生的总电量为

。                                                                                             （25）

将（5）和（23）带入（25）式，得

，                                                                     （26）

代入数据后有

                                                                                          （27）

评分标准：（5）式3分，（7）式1分，（9）式2分，（17）式2分，（18）式1分，（22）式3分，（25）~（27）式各1分。

参考解答2：

以表示环境中大气的压强。设融化整座冰山可使摩尔的空气参与如题所述的过程，且在过程中体积和温度变化分别为和，则在此过程中这部分气体放出的热量为

。                                                                             （1）

其中右边第一项表示大气对系统做的功，第二项表示系统内能的变化，考虑到物态方程，有

，                                                                                   （2）

这部分热量等于冰山融化吸收的熔解热，故

，                                                                                                 （3）

因此联立（2）、（3）可得

。                                                                                     （4）

在气体等容吸热的过程中，设最后达到压强，体积达到，则易得

，                                                                                             （5）

                                                                                                （6）

再考虑喷气过程：因为等温，在每个喷气的小过程中过后，容器内的压强增量满足

，                                                                                     （7）

其中为过程中系统的体积，为这个喷气过程中容器内的压强，那么喷出的气体的动能

，                                                                                     （8）

与（7）联立，消去，得

。                                                                           （9）

因此，做变换，，总的动能则为

                                                                            （10）

最后，据题意所获得的总的电能为

，                                                                                            （11）

将（4）、（5）、（6）、（10）带入（11）式，得

；                                                                     （12）

代入数据后有

。                                                                                       （13）

评分标准：参考“参考解答1”的评分标准。