Question

磁悬浮列车是一种高速低耗的新型交通工具，它的驱动系统简化为如下模型，固定在列车下端的动力绕组可视为一个矩形纯电阻金属框，电阻为R，金属框置于xOy平面内，长边MN为l平行于y轴，宽为d的NP边平行于x轴，如图l所示。列车轨道沿Ox方向，轨道区域内存在垂直于金属框平面的磁场，磁感应强度B沿O x方向按正弦规律分布，其空间周期为λ，最大值为B₀，如图2所示，金属框同一长边上各处的磁感应强度相同，整个磁场以速度v₀沿Ox方向匀速平移。设在短暂时间内，MN、PQ边所在位置的磁感应强度随时问的变化可以忽略，并忽略一切阻力。列车在驱动系统作用下沿Ox方向加速行驶，某时刻速度为v

（v＜v₀）
（1）简要叙述列车运行中获得驱动力的原理；
（2）为使列车获得最大驱动力，写出MN、PQ边应处于磁场中的什么位置及λ与d之间应满足的关系式；
（3）计算在满足第（2）问的条件下列车速度为v时驱动力的大小。

Answer 1

（1）由于列车速度与磁场平移速度不同，导致穿过金属框的磁通量发生变化，由于电磁感应，金属框中会产生感应电流，该电流受到的安培力即为驱动力。　 （2 d＝(2k＋1)或λ= (k∈N)　　　　（3）　F＝　　　　　　

（l）由于列车速度与磁场平移速度不同，导致穿过金属框的磁通量发生变化，由于电磁感应，金属框中会产生感应电流，该电流受到的安培力即为驱动力。
（2）为使列车得最大驱动力，MN、PQ应位于磁场中磁感应强度同为最大值且反向的地方，这会使得金属框所围面积的磁通量变化率最大，导致框中电流最强，也会使得金属框长边中电流受到的安培力最大。因此，d应为的奇数倍，即
　　　　　　　　d＝(2k＋1)或λ= (k∈N)　　　　　　　　　　　①
（3）由于满足第（2）问条件，则MN、PQ边所在处的磁感就强度大小均为B₀且方向总相反，经短暂时间Δt，磁场沿Ox方向平移的距离为v₀Δt，同时，金属框沿Ox方向移动的距离为vΔt。
　　因为v₀＞v，所以在Δt时间内MN边扫过的磁场面积
　　　　　　　　S＝(v₀－v)lΔt
　　在此Δt时间内，MN边左侧穿过S的磁通移进金属框而引起框内磁通量变化
　　　　　　　　＝B₀l(v₀－v)Δt　　　　　　　　　　　　　　　　　②
　　同理，该Δt时间内，PQ边左侧移出金属框的磁通引起框内磁通量变化
　　　　　　　　＝B₀l(v₀－v)Δt　　　　　　　　　　　　　　　　　③
　　故在内金属框所围面积的磁通量变化
　　　　　　　　＝＋　　　　　　　　　　　　　　　　④
　　根据法拉第电磁感应定律，金属框中的感应电动势大小
　　　　　　　　E＝　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　⑤
　　
　　根据闭合电路欧姆定律有
　　　　　　　　I＝　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　⑥
根据安培力公式，MN边所受的安培力
　　　　　F_MN＝B₀Il
PQ边所受的安培力
　　　　　F_PQ＝B₀Il
根据左手定则，MN、PQ边所受的安培力方向相同，此时列车驱动力的大小
　　　　　F＝F_MN＋F_PQ＝2 B₀Il　　　　　　　　　　　　　　　　　⑦
联立解得
　　　　　F＝　　　　　　　　　　　　　　　　　⑧