Question

如图所示，在同时存在匀强电场和匀强磁场的空间中取正交坐标系Oxyz（x轴正方向水平向右，y轴正方向竖直向上）．匀强磁场方向与Oxy平面平行，且与x轴的夹角为45°，重力加速度为g．
（1）一质量为m、电荷量为+q的带电质点沿平行于z轴正方向以速度v₀做匀速直线运动，求满足条件的电场强度的最小值E_min及对应的磁感应强度B；
（2）在满足（1）的条件下，当带电质点通过y轴上的点P（0，h，0）时，撤去匀强磁场，求带电质点落在Oxz平面内的位置；
（3）当带电质点沿平行于z轴负方向以速度v₀通过y轴上的点P（0，h，0）时，改变电场强度大小和方向，同时改变磁感应强度的大小，要使带点质点做匀速圆周运动且能够经过x轴，问电场强度E和磁感应强度B大小满足什么条件？

Answer 1

分析：（1）带电质点受到重力mg（大小及方向均已知）、洛伦兹力qv₀B（方向已知）、电场力qE（大小及方向均未知）的作用做匀速直线运动．根据力三角形知识分析可知：当电场力方向与磁场方向相同时，场强有最小值E_min．根据物体的平衡规律列式即可求解；
（2）撤去磁场后，带电质点受到重力mg和电场力qE_min作用，其合力沿PM方向并与v₀方向垂直，大小等于qv₀B=

2

2

mg，故带电质点在与Oxz平面成45°角的平面内作类平抛运动．根据平抛运动的基本公式及运动的合成与分解即可求解；
（3）当电场力和重力平衡时，带点质点才能只受洛伦兹力作用做匀速圆周运动，根据电场力等于重力，洛伦兹力通过向心力列式即可求解．

解答：解：（1）如图1所示，带电质点受到重力mg（大小及方向均已知）、洛伦兹力qv₀B（方向已知）、电场力qE（大小及方向均未知）的作用做匀速直线运动．根据力三角形知识分析可知：当电场力方向与磁场方向相同时，场强有最小值E_min．根据物体的平衡规律有
qE_min=mgsin45°                     
qv₀B=mgcos45°
解得Emin=

2 mg

2q

                     
B=

2 mg

2qv0

                        
（2）如图2所示，撤去磁场后，带电质点受到重力mg和电场力qE_min作用，其合力沿PM方向并与v₀方向垂直，大小等于qv₀B=

2

2

mg，故带电质点在与Oxz平面成45°角的平面内作类平抛运动．
由牛顿第二定律 qv₀B=ma
解得 a=

2

2

g 
设经时间t到达Oxz平面内的点N（x，y，z），由运动的分解可得
沿v₀方向  Z=v₀t
沿PM方向  PM=

1

2

at2
又 PM=

h

sin45°

   
x=htan45°
联立解得 x=h   
z=2v0

h g

 
则带电质点落在N（h，0，2v0

h g

 ）点 
（3）当电场力和重力平衡时，带点质点才能只受洛伦兹力作用做匀速圆周运动
则有：Eq=mg
得：E=

mg

q

要使带点质点经过x轴，圆周的直径为

2

h
根据qv₀B=m

v02

r

得B=

2 mv0

2qh

答：（1）电场强度的最小值为

2 mg

2q

，对应的磁感应强度为

2 mg

2qv0

；
（2）在满足（1）的条件下，当带电质点通过y轴上的点P（0，h，0）时，撤去匀强磁场，带电质点落在Oxz平面内的位置坐标为（h，0，2v0

h g

 ）；
（3）当带电质点沿平行于z轴负方向以速度v₀通过y轴上的点P（0，h，0）时，改变电场强度大小和方向，同时改变磁感应强度的大小，要使带点质点做匀速圆周运动且能够经过x轴，电场强度E为

mg

q

，磁感应强度为

2 mv0

2qh

．

点评：本题是带电粒子在复合场中的运动问题，分匀速直线运动、匀速圆周运动和类似平抛运动三种情况进行研究，难道适中．