Question

5．如图所示，有一光滑的半圆形绝缘轨道QPN竖直放置与一水平绝缘轨道MN相切连接，轨道半径R=20cm，MN长x=60cm，在MN的右侧连接一光滑斜面，斜面倾角θ=37°，在轨道上M点左侧存在E=1×10³N/C的竖直匀强电场，场强方向向下．一带负电、电荷量q=10^-4C的小滑块质量m=20g，与水平轨道间的动摩擦因数μ=0.5，从斜面上某处静止滑下，（滑块经过M点时无能量损失），取重力加速度g=10m/s²．求：
（1）要使小滑块恰能运动到圆轨道的最高点，则滑块开始下滑处离MN的高度是多少？
（2）这样运动的滑块通过N点时对圆弧轨道的压力是多大？
（3）试问在斜面上是否存在一处，使小滑块由静止滑下并从Q点飞离时恰好能落到MN中点，若存在则求出该点离水平轨道的高度，若不存在请说明理由．

Answer 1

分析 （1）在小滑块运动的过程中，重力对滑块做正功，摩擦力对滑块做负功，电场力对滑块做正功，根据动能定理可以求得滑块开始下滑处离MN的高度；
（2）在N点时，对滑块受力分析，由牛顿第二定律可以求得滑块受到的轨道对滑块的支持力的大小，由牛顿第三定律可以求滑块得对轨道压力．
（3）滑块从Q点飞离时恰好能落到MN中点，由平抛运动的公式即可求出滑块在Q点的速度，然后结合动能定理即可求出．

解答 解：（1）滑块带负电，则受到的电场力的方向向上，滑块从静止到到达Q的过程中，重力对滑块做正功，摩擦力对滑块做负功，电场力对滑块做正功，由动能定理得：
mg（h-2R）+qE2R-μmgx=$\frac{1}{2}$mv²-0，
滑块恰能达到最高点，重力和电场力提供向心力，由牛顿第二定律得：mg-qE=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，
代入数据解得：v=1m/s，h=0.55m；
（2）设滑块在N点的速度为v₁，滑块从N到Q的过程中重力和电场力做功，由动能定理得：
qE•2R-mg•2R=$\frac{1}{2}$mv₁²-$\frac{1}{2}$mv²，
设滑块在N点所受的压力为F_N，由牛顿第二定律得：${F}_{N}+qE-mg=\frac{m{v}_{1}^{2}}{R}$
代入数据解得：v₁=2m/s，F_N=0.5N，
由牛顿第三定律可知，滑块通过N点时对轨道的压力大小为0.5N；
（3）从Q点飞离后做平抛运动，竖直方向：$2R=\frac{1}{2}g{t}^{2}$
所以：t=$\sqrt{\frac{2×2R}{g}}=\sqrt{\frac{2×2×0.2}{10}}=0.2\sqrt{2}$s
恰好能落到MN中点，则：x′=$\frac{1}{2}$x=$\frac{1}{2}×0.6=0.3$m
又：x′=v_Qt
所以：${v}_{Q}=\frac{x′}{t}=\frac{0.3}{0.2\sqrt{2}}=\frac{1.5}{\sqrt{2}}m/s＞1m/s$，滑块能通过Q点．
设释放点的高度为h′，则滑块从静止到到达Q的过程中，重力对滑块做正功，摩擦力对滑块做负功，电场力对滑块做正功，由动能定理得：
mg（h′-2R）+qE•2R-μmgx=$\frac{1}{2}m{v}_{Q}^{2}$-0，
代入数据得：h′=0.55625m
答：（1）要使小滑块恰能运动到圆轨道的最高点，则滑块开始下滑处离MN的高度是0.55m；
（2）这样运动的滑块通过N点时对圆弧轨道的压力是0.5N；
（3）使小滑块由静止滑下并从Q点飞离时恰好能落到MN中点，该点离水平轨道的高度是0.55625m．

点评 本题中涉及到的物体的运动的过程较多，对于不同的过程要注意力做功数值的不同，特别是在离开最高点之后，滑块的运动状态的分析是本题中的难点，一定要学会分不同的方向来分析和处理问题．