Question

10．卫星甲绕质量为M₁的行星以r₁为半径做圆周运动，卫星乙绕质量为M₂的行星以r₂为半径做圆周运动，若不考虑某行星对另一行星的影响，用T₁，T₂和v₁，v₂分别表示卫星甲、乙的周期和线速度大小，则下列关系正确的是（　　）

• A． $\frac{{{T}_{1}}^{2}}{{{T}_{2}}^{2}}$=$\frac{{{r}_{2}}^{3}}{{{r}_{1}}^{3}}$
• B． $\frac{{{T}_{1}}^{2}}{{{T}_{2}}^{2}}$=$\frac{{M}_{2}{{r}_{1}}^{3}}{{M}_{1}{{r}_{2}}^{3}}$
• C． $\frac{{v}_{1}}{{v}_{2}}$=$\sqrt{\frac{{r}_{2}}{{r}_{1}}}$
• D． $\frac{{v}_{1}}{{v}_{2}}$=$\sqrt{\frac{{M}_{1{r}_{2}}}{{M}_{2}{r}_{1}}}$

Answer 1

分析 根据万有引力提供向心力$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}r$=$m\frac{{v}^{2}}{r}$，解出周期和线速度与轨道半径和中心天体质量的关系，再计算其比值．

解答 解：AB、根据万有引力提供向心力$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}r$，得$T=2π\sqrt{\frac{{r}^{3}}{GM}}$，所以$\frac{{{T}_{1}}^{2}}{{{T}_{2}}^{2}}=\frac{{M}_{2}{{r}_{1}}^{3}}{{M}_{1}{{r}_{2}}^{3}}$，故A错误、B正确．
CD、根据万有引力提供向心力$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{r}$，得$v=\sqrt{\frac{GM}{r}}$，所以$\frac{{v}_{1}}{{v}_{2}}=\sqrt{\frac{{M}_{1}{r}_{2}}{{M}_{2}{r}_{1}}}$，故C错误、D正确．
故选：BD．

点评 本题的关键是要能够掌握万有引力提供向心力这个关系，要能够根据题意选择恰当的向心力的表达式，要注意甲和乙卫星的中心天体不一样．