Question

12．如图所示，质量为m的滑块，在水平力F作用下静止在倾角为θ在光滑斜面上，斜面末端B与水平传送带平滑连接，传送带沿顺时针方向匀速运行速率为v₀，B、C间距离为L；今将水平力F撤去，当滑块到达传送带B点后作匀减速运动，恰好在C端与传送带速度相同．已知滑块与传送带间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，求：
（1）水平作用力F的大小
（2）滑块下滑高度h
（3）滑块在传送带上滑行的整个过程中产生的热量Q．

Answer 1

分析 （1）对滑块受力分析，由共点力的平衡条件可得出水平作用力的大小；
（2）由于滑块滑到B点的速度未知，故应分别对符合条件的两种情况进行讨论，由动能定理可求得滑块下落的高度；
（3）热量与滑块和传送带间的相对位移成正比，即Q=fs，由运动学公式求得传送带通过的位移，即可求得相对位移．

解答 解：（1）滑块受到水平推力F、重力mg和支持力N处于平衡，如图所示：
则水平推力为：F=mgtanθ
（2）设滑块从高为h处下滑，到达斜面底端速度为v下滑过程机械能守恒：$mgh=\frac{1}{2}m{v}^{2}$
则v=$\sqrt{2gh}$
若滑块冲上传送带时的速度小于传送带速度，则滑块在带上由于受到向右的滑动摩擦力而做匀加速运动；根据动能定理有：
$μmgL=\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}-\frac{1}{2}m{v}^{2}$
所以：$h=\frac{{{v}_{0}}^{2}}{2g}-μL$
若滑块冲上传送带时的速度大于传送带的速度，则滑块由于受到向左的滑动摩擦力而做匀减速运动；根据动能定理：
$-μmgL=\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}-\frac{1}{2}m{v}^{2}$
解得：$h=\frac{{{v}_{0}}^{2}}{2g}+μL$
（3）设滑块在传送带上运动的时间为t，则t时间内传送带的位移：s=v₀t
v₀=v-at
滑块相对传送带滑动的位移为：△s=L-s
相对滑动生成的热量为：Q=μmg•△s
解得：$Q=μmgL-{mv}_{0}\sqrt{{{v}_{0}}^{2}+2μgL}$．
答：（1）水平作用力力F大小为mgtanθ；
（2）滑块下滑的高度为$\frac{{{v}_{0}}^{2}}{2g}-μL$或$\frac{{{v}_{0}}^{2}}{2g}+μL$；
（3）滑块在传送带上滑行的整个过程中产生的热量为$μmgL-{mv}_{0}\sqrt{{{v}_{0}}^{2}+2μgL}$．

点评 本题考查了动能定理及机械能守恒，在研究传送带问题时，要注意传送带与滑块速度间的关系，从而确定出滑块的运动情况； 注意热量一般由摩擦力乘以相对位移求出．