Question

14．如图所示，在平面直角坐标系中的三角形FGH区域内存在着垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，三点坐标分别为F（-3L，5L）、G（-3L，-3L）、H（5L，-3L）．坐标原点O处有一体积可忽略的粒子发射装置，能够连续不断的在该平面内向各个方向均匀的发射速度大小相等的带正电的同种粒子，单位时间内发射粒子数目稳定．粒子的质量为m，电荷量为q，不计粒子间的相互作用以及粒子的重力．
（1）速率在什么范围内所有粒子均不可能射出该三角形区域？
（2）如果粒子的发射速率为$\frac{\sqrt{2}qBL}{m}$，设在时间t内粒子源发射粒子的总个数为N，在FH边上安装一个可以吸收粒子的挡板，那么该时间段内能够打在挡板FH上的粒子有多少？并求出挡板上被粒子打中的长度．

Answer 1

分析 （1）作出粒子运动轨迹，由几何知识求出粒子轨道半径，应用牛顿第二定律求出粒子速度．
（2）求出粒子轨道半径，然后应用几何知识求出长度．

解答 解：（1）如图所示，以OM为直径的粒子在运动过程中刚好不飞离磁场，可以保证所有粒子均不能射出三角形区域．
根据几何关系，OM=2r₀=$\sqrt{2}L$，
根据牛顿第二定律得：$q{v_0}B=m\frac{v_0^2}{r_0}$，
可得满足：${v_0}≤\frac{{\sqrt{2}qBL}}{2m}$的粒子均不可能射出该三角形区域；
（2）当粒子速率v=$\frac{{\sqrt{2}qBL}}{m}$时，可求得其做圆周运动半径：$r=\sqrt{2}L$，
如图所示，当粒子的入射速度方向沿OM的反方向时，运动轨迹与FH相切于J点；
当粒子的入射速度方向沿OM时，运动轨迹与FH相切于I点，介于这二者之间的入射粒子均可打在挡板FH上，共计$\frac{N}{2}$，
挡板上被粒子打中的长度为图中IK之间的距离，其中：IM=$r=\sqrt{2}L$，
OK=2$r=2\sqrt{2}L$，$MK=\sqrt{O{K^2}-O{M^2}}$=$\sqrt{6}L$，
挡板上被粒子打中的长度：IK=$（\sqrt{2}+\sqrt{6}）L$；
答：（1）速率在${v_0}≤\frac{{\sqrt{2}qBL}}{2m}$的粒子均不可能射出该三角形区域．
（2）该时间段内能够打在挡板FH上的粒子$\frac{N}{2}$，并求出挡板上被粒子打中的长度为（$\sqrt{2}$+$\sqrt{6}$）L．

点评 本题考查了求粒子速度、粒子数与长度，分析清楚粒子运动过程、作出粒子运动轨迹是正确解题的关键，应用几何知识、牛顿第二定律即可正确解题．