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    精英家教网我国航天技术世界领先，天宫、神八相继发射成功，由此激发了我们对地球运动的深入研究．设地球和太阳的质量分别为m和M，地球绕太阳作椭圆运动，轨道的半长轴为a，半短轴为b，如图所示．（已知：地球的势能为-
    GMmr
    其中r是地球与太阳的距离），试求
    （1）由能量与行星运动规律写出，地球在椭圆顶点A、B、C三点的运动速度vA，vB，vC有关的方程组．
    （2）由（1）有关的方程组求出地球在椭圆顶点A、B、C三点的运动速度vA，vB，vC．
    （3）求出地球运动轨迹在A、C两点的曲率半径ρA、ρC．
    （以上有关结果由G、M、m、a、b表示）
    分析：（1、2）地球做椭圆运动的过程中，机械能守恒．根据机械能守恒定律，开普勒第二定律以及a、b、c的关系列出表达式，并求出A、B、C的速度大小．
    （3）将A、C两点的万有引力沿切向和法向进行分解，沿法向方向上的合力提供向心力，根据该规律求出A、C两点的曲率半径．
    解答：解：精英家教网（1）针对地球从A点运动到B点的过程，机械能守恒
    1
    2
    mvA2+（-G
    Mm
    a-c
    ）=
    1
    2
    mvB2+（-G
    Mm
    a+c
    ）  ①
    比较A、B两点，应用开普勒第二定律，有：vA（a-c）=vB（a+c）②
    结合椭圆的基本关系：c=
    		a2-b2
     ③
    （2）解以上三式可得：vA=
    a+
    		a2-b2
    b
    GM
    a
     ④，
    vB=
    a-
    		a2-b2
    b
    GM
    a
    ⑤
    再针对地球从A到C的过程，应用机械能守恒定律，有
    1
    2
    mvA2+（-G
    Mm
    a-c
    ）=
    1
    2
    mvC2+（-G
    Mm
    a
    ）代入vA值可解得：vC=
    GM
    a
    ⑥
    （3）为求A、C两点的曲率半径，在A、C两点建自然坐标，然后应用动力学（法向）方程．
    在A点，F万=ΣFn=m an，设轨迹在A点的曲率半径为ρA，即：G
    Mm
    (a-c)2
    =m
    v
    2
    A
    ρA
    代入vA值可解得：ρA=
    b2
    a

    在C点，须将万有引力在τ、n方向分解，如图所示．然后，F万n=ΣFn=m an，即：F万cosθ=m
    v
    2
    C
    ρC
    即：G
    Mm
    a2
    ?
    b
    a
    =m
    v
    2
    C
    ρC
      
    代入vC值可解得：ρC=
    a2
    b

    故地球运动轨迹在A、C两点的曲率半径分别为ρA=
    b2
    a
    、ρC=
    a2
    b
    ．
    点评：解决本题的关键抓住地球做椭圆运动的过程中机械能守恒，以及知道地球在做椭圆运动的过程中，万有引力沿法向的合力提供向心力．
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