Question

5．如图在磁感应强度大小为B、方向垂直向上的匀强磁场中，有一上、下两层均与水平面平行的“U”型光滑金属导轨，在导轨面上各放一根完全相同的质量为m匀质金属杆A₁和A₂，开始时两根金属杆位于同一竖直面内且与轨道垂直．设两导轨面相距为H，导轨宽为L，导轨足够长且电阻不计，金属杆的单位长度电阻值为r．现有质量为$\frac{1}{2}$m的不带电小球以水平向右的速度v₀撞击杆A₁的中点，撞击后小球反弹落到下层面上的C点．C点与杆A₂初始置相距为s．求：
（1）当杆A₂与杆A₁的速度比为1：3时，A₂受到的安培力大小．
（2）整个运动过程中感应电流最多产生了多少热量？

Answer 1

分析 金属杆A₁、A₂两杆在同一个金属U形导轨上都做变速运动，运动方向相同（都向右），同一时刻两杆都切割磁感线产生感应电动势，两个感应电动势在空间中的方向相同（都向外），但两个感应电动势在回路中的方向相反，所以总电动势是这两个电动势之差，即E=BL（v₁-v₂），方向为金属杆A₁中感应电流的方向，因为A₁比A₂产生的感应电动势大，从而求出A₂受到的安培力大小，根据平抛运动规律、动量守恒定律、能量守恒定律解决问题．

解答 解：（1）设撞击后小球反弹的速度为v₁，金属杆A1的速度为v₀₁，根据动量守恒定律，$\frac{1}{2}$mv₀=$\frac{1}{2}$m（-v₁）+mv₀₁，①
 根据平抛运动的分解，有
 　s=v₁t，H=$\frac{1}{2}$gt²
 　由以上2式解得v₁=s$\sqrt{\frac{g}{2H}}$ ②
 　②代入①得v₀₁=$\frac{1}{2}$（v₀+s$\sqrt{\frac{g}{2H}}$）     
设金属杆A₁、A₂速度大小分别为v₁、v₂，根据动量守恒定律，
mv₀₁=mv1+mv₂，又$\frac{{v}_{1}}{{v}_{2}}=\frac{3}{1}$，所以
v₁=$\frac{3}{4}$v₀₁，v₂=$\frac{1}{4}$v₀₁．
金属杆A₁、A₂速度方向都向右，根据右手定则判断A₁、A₂产生的感应电动势在回路中方向相反，
所以感应电动势为E=BL（v₁-v₂），电流为I=$\frac{E}{2Lr}$，安培力为F=BIL，
所以A₂受到的安培力大小为F=$\frac{{B}^{2}L}{8r}$（v₀+s$\sqrt{\frac{g}{2H}}$）．
（2）因为在安培力的作用下，金属杆A₁做减速运动，金属杆A₂做加速运动，当两杆速度大小相等时，回路内感应电流为0，根据能量守恒定律，$\frac{1}{2}$mv₀₁²=Q+$\frac{1}{2}$•2mv²    ⑤
其中v是两杆速度大小相等时的速度，根据动量守恒定律，
mv₀₁=2mv，所以v=$\frac{1}{2}$v₀₁，代入⑤式得
Q=$\frac{1}{16}$m（v₀+s$\sqrt{\frac{g}{2H}}$）²   
答：（1）当杆A₂与杆A₁的速度比为1：3时，A₂受到的安培力大小为$\frac{{B}^{2}L}{8r}$（v₀+s$\sqrt{\frac{g}{2H}}$）．
（2）整个运动过程中感应电流最多产生了$\frac{1}{16}$m（v₀+s$\sqrt{\frac{g}{2H}}$）² 的热量．

点评 注重金属杆A₁、A₂两杆的运动过程分析，清楚同一时刻两杆都切割磁感线产生感应电动势时，根据两个感应电动势在回路中的方向会求出电路中总的感应电动势．