Question

4．高速公路上甲乙两车在同一车道上同向行驶，甲车在前，乙车在后，速度均为v₀=108km/h，距离s₀=100m，t=0时刻甲车遇紧急情况后，甲乙两车的加速度随时间变化如图所示（图1为甲，图2为乙），取运动方向为正方向．

（1）t=3s时甲车速度是多少？此时甲乙两车间距是多少？
（2）通过计算说明两车在0～9s内会不会相撞？
（3）上一问中如果相撞，则求出相撞时间；如果不相撞，则求第9s末两车的间距．
（4）分别作出两车的速度时间图线．

Answer 1

分析 （1）根据速度时间公式求出甲车的速度，根据运动学公式求出两车的位移，从而得出甲乙两车的间距．
（2）因为甲车在前，乙车在后，当乙车速度减到和甲车相等的时候两车没有相撞则以后就不会相撞，根据速度时间公式求出速度相等经历的时间，通过位移关系判断是否相撞．
（3）根据位移公式求出9s末两车的间距．
（4）根据a-t图线作出v-t图线．

解答 解：（1）由图象知，甲车在0-3s内做匀减速直线运动，初速度v₀=108km/h=30m/s，则3s末，甲车的速度v=v₀-at=30-10×3m/s=0m/s
此时甲车的位移$x_1^{\;}=\frac{0-v_0^2}{2a}$=$\frac{0-900}{-20}m$=45m．
乙车作匀速直线运动，位移$x_2^{\;}={v_0}t$=30×3m=90m
则两车相距的距离$△x=x_1^{\;}+{x_0}-x_2^{\;}$=55m，甲车还在乙车的前方．
（2）3s后，甲做初速度为零的匀加速直线运动，乙做匀减速直线运动，两车在3s时相距55m．此后前面的甲车从静止开始做匀加速直线运动，后面的乙车以30m/s做匀减速直线运动．
当两车速度相等时，有：a_甲t′=v₀+a_乙t′
代入数据解得t′=3s
此时前面甲的位移$x_甲^{\;}=\frac{1}{2}{a_甲}{t'^2}$=$\frac{1}{2}×5×9m$=22.5m
后面乙的位移$x_乙^{\;}=v_0^{\;}t'+\frac{1}{2}{a_乙}{t'^2}$=$30×3-\frac{1}{2}×5×9m$=67.5m
因为$x_甲^{\;}+△x$=77.5＞$x_乙^{\;}$，故知两车不会相撞．
（3）对乙车在3～9s，$v_{乙9}^{\;}=v_0^{\;}-{a_乙}t=0$，可以得到乙车在9s末的速度为零，则3-9s内乙车的位移$x'_1^{\;}=\frac{0-v_0^2}{{2a_乙^{\;}}}$=$\frac{0-900}{-2×5}$m=90m
3-9s内甲车的位移$x'_2^{\;}=\frac{1}{2}a_甲^{\;}{t^2}$=$\frac{1}{2}×5×36m$=90m
则两车在9s时的间距$△x'=x'+55-x'_1^{\;}=55$m
（4）速度时间图线如图所示．
答：（1）t=3s时甲车速度是0m/s，此时甲乙两车间距是55m；
（2）两车不会相撞．
（3）第9s末两车的间距为55m．
（4）速度时间图线如图所示．

点评 解决本题的关键能正确的读懂图象，并能根据图象所反映的物体运动规律进行求解．抓住两车相距最近时的临界条件是两车速度相等．