Question

14．国外有个秋千高人，曾经挑过360°荡秋千（图甲）．为了进行相关的力学计算，我们将该情境简化为如图物理模型（图乙）．高人和坐板整体可视为质点，总质量为60kg，绳子的质量忽略不计，而且不可伸长，质点绕圆心O做匀速圆周运动，半径为5m．

（1）高人要想安全地沿着圆轨道通过最高点B点，他在B点时的速度不能低于多少？
（2）如果从A点运动到B点系统克服阻力做功为A处动能的20%，为了能够安全通过B点，高人在最低点A处至少要有多大的速度？
（3）在（2）计算出的结果下，在A处绳子至少要能承受多大的力才不会断？

Answer 1

分析 （1）考虑临界情况，即在B点，重力提供向心力，根据牛顿第二定律列式求解即可；
（2）对从A到B过程，根据动能定理列式求解；
（3）在A点，对人和坐板整体，拉力和重力的合力提高向心力，根据牛顿第二定律列式求解．

解答 解：（1）在B点，重力恰好提高向心力，则：
mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{r}$
解得：
${v}_{B}=\sqrt{gr}=\sqrt{10×5}=5\sqrt{2}m/s$
（2）对从A到B过程，根据动能定理，有：
-mg•2r-W_f=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$
其中：${W}_{f}=20%×（\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}）$
联立解得：${v}_{A}=\sqrt{\frac{5}{6}{v}_{B}^{2}+\frac{10}{3}gr}$=$\sqrt{\frac{5}{6}×50+\frac{10}{3}×10×5}$=$\frac{25}{3}\sqrt{3}m/s$
（3）在A点，根据牛顿第二定律，有：
T-mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{r}$
解得：
T=mg+m$\frac{{v}_{B}^{2}}{r}$=60×10+60×$\frac{（5\sqrt{2}）^{2}}{5}$=700N
答：（1）高人要想安全地沿着圆轨道通过最高点B点，他在B点时的速度不能低于5$\sqrt{2}$m/s；
（2）如果从A点运动到B点系统克服阻力做功为A处动能的20%，为了能够安全通过B点，高人在最低点A处至少要有$\frac{25}{3}\sqrt{3}m/s$的速度；
（3）在（2）计算出的结果下，在A处绳子至少要能承受700的力才不会断．

点评 本题以秋千为背景，考查了圆周运动的知识，关键是建立竖直方向圆周运动的物理模型，同时要能够结合动能定理、牛顿第二定律、向心力公式列式求解．