Question

8．如图所示，穿过光滑水平平面中央小孔O的细线与平面上质量为m的小球P相连，手拉细线的另一端，让小球在水平面内以角速度ω₁沿半径为a的圆周做匀速圆周运动．所有摩擦均不考虑． 求：
（1）这时细线上的拉力多大？
（2）若突然松开手中的细线，经时间△t再握紧细线，随后小球沿半径为b的圆周做匀速圆周运动．试问：△t等于多大？这时的角速度ω₂为多．

Answer 1

分析 由题意可知，小球做匀速圆周运动所需要的向心力是由细线的拉力提供的．则可求出细线上的张力大小；当突然松开手时，小球沿切线方向匀速飞出．当再次握住时，小球又做匀速圆周运动．由半径a与ω₁可求出飞出之前的速度．再由半径b，结合运动的分解可求出小球以半径b做匀速圆周运动的线速度．从而可求出此时的角速度．由于是匀速飞出，所以利用直角三角形，由长度a、b可求出时间．

解答 解：（1）细线上的拉力提供向心力，根据牛顿第二定律得：$F=ma{{ω}_{1}}^{2}$
（2）松开手后小球作匀速直线运动：v=aω₁
时间$△t=\frac{s}{v}=\frac{\sqrt{{b}^{2}-{a}^{2}}}{a{ω}_{1}}$
小球再次作匀速圆周运动时，线使分速度v₁消失，小球的速度为v₂：
根据几何关系得：$sinθ=\frac{a}{b}$
v₂=bω₂=vsinθ
解得：
${ω}_{2}=\frac{{a}^{2}}{{b}^{2}}{ω}_{1}$
答：（1）这时细线上的拉力为$ma{{ω}_{1}}^{2}$；
（2）△t等于$\frac{\sqrt{{b}^{2}-{a}^{2}}}{a{ω}_{1}}$，这时的角速度ω₂为$\frac{{a}^{2}}{{b}^{2}}{ω}_{1}$．

点评 搞清小球做匀速圆周运动所需要的向心力来源，同时本题巧妙运用三角函数求出松手前后的线速度关系．值得注意是松手后小球做的是匀速直线运动．