Question

9．如图所示，位于竖直平面内的$\frac{1}{4}$圆弧光滑轨道，半径为R=4m，轨道的最低点B的切线沿水平方向，轨道上端A距水平地面高度为H=20m．质量为m=1kg的小球（可视为质点）从轨道最上端A点由静止释放，经轨道最下端B点水平飞出，最后落在水平地面上的C点处，若空气阻力可忽略不计，重力加速度g=10m/s²．求：
（1）小球运动到B点时，轨道对它的支持力多大；
（2）小球落地点C与B点的水平距离x为多少；
（3）H保持不变，当R为多少时，小球落地点C与B点水平距离x最远；该水平距离最大值是多少．

Answer 1

分析 （1）小球由A→B过程中，只有重力做功，根据机械能守恒定律及向心力公式列式求解；
（2）小球从B点抛出后做平抛运动，根据平抛运动的位移公式求解；
（3）利用数学知识分析水平位移的表达式即可求解．

解答 解：（1）小球从A点运动到B点的过程中，机械能守恒，设在B点的速度为v_B，根据机械能守恒定律有  mgR=$\frac{1}{2}$mv_B²
设小球在B点时所受轨道的支持力为F_N，对小球在B点根据牛顿第二定律有
F_N-mg=m$\frac{v_B^2}{R}$
联立可解得F_N=3mg=3×10N=30N
（2）小球离开B点后做平抛运动．
沿竖直方向有  H-R=$\frac{1}{2}g{t^2}$
沿水平方向有  x=v_Bt 
联立解得  x=2$\sqrt{R（H-R）}$=$2\sqrt{4×（20-4）}m$=16m
（3）由x=2$\sqrt{R（H-R）}$可导出x=2$\sqrt{-{{（R-\frac{H}{2}）}^2}+\frac{H^2}{4}}$
当$R=\frac{1}{2}H=10m$时，x有最大值．
x的最大值x_m=H=20m         
答：（1）小球运动到B点时，轨道对它的支持力为30N；
（2）小球落地点C与B点的水平距离x为16m；
（3）H保持不变，当R为10m时，小球落地点C与B点水平距离x最远；该水平距离最大值是为20m．

点评 本题关键对两个的运动过程分析清楚，然后选择机械能守恒定律和平抛运动规律列式求解．