如图为某种鱼饵自动投放器中的投饵管装置示意图.其下半部AB是一长为2R的竖直细管.上半部BC是半径为R的四分之一圆弧弯管.管口沿水平方向.AB管内有一原长为R.下端固定的轻质弹簧．投饵时.每次总将弹簧长度压缩到0.5R后锁定.在弹簧上段放置一粒鱼饵.解除锁定.弹簧可将鱼饵弹射出去．设质量为m的鱼饵到达管口C时.对管壁的作用� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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如图为某种鱼饵自动投放器中的投饵管装置示意图，其下半部AB是一长为2R的竖直细管，上半部BC是半径为R的四分之一圆弧弯管，管口沿水平方向，AB管内有一原长为R、下端固定的轻质弹簧．投饵时，每次总将弹簧长度压缩到0.5R后锁定，在弹簧上段放置一粒鱼饵，解除锁定，弹簧可将鱼饵弹射出去．设质量为m的鱼饵到达管口C时，对管壁的作用力恰好为零．不计鱼饵在运动过程中的机械能损失，且锁定和解除锁定时，均不改变弹簧的弹性势能．已知重力加速度为g．求：
（1）质量为m的鱼饵到达管口C时的速度大小v₁；
（2）弹簧压缩到0.5R时的弹性势能E_p；
（3）已知地面欲睡面相距1.5R，若使该投饵管绕AB管的中轴线OO′．在90°角的范围内来回缓慢转动，每次弹射时只放置一粒鱼饵，鱼饵的质量在$\frac{2}{3}m$到m之间变化，且均能落到水面．持续投放足够长时间后，鱼饵能够落到水面的最大面积S是多少？

分析（1）鱼饵到达管口C时做圆周运动的向心力完全由重力提供，有牛顿第二定律列出向心力的方程，速度可求．
（2）不计鱼饵在运动过程中的机械能损失，所以鱼饵增加的机械能都是弹簧做功的结果，由功能关系知道弹簧具有的弹性势能等于鱼饵增加的机械能．
（3）分别求出质量是m和$\frac{2}{3}$的鱼饵离开C时的速度，再利用平抛运动规律求出落到水平面到转轴之间的距离，转轴转过90°时，鱼饵在水平面形成两个$\frac{1}{4}$圆面积，中间夹的环形面积即为所求．

解答解：（1）质量为m的鱼饵到达管口C时做圆周运动的向心力完全由重力提供，则 $mg=m\frac{v_1^2}{R}$ ①
由①式解得    ${v_1}=\sqrt{gR}$ ②
（2）弹簧的弹性势能全部转化为鱼饵的机械能，由机械能守恒定律有 ${E_P}=mg（1.5R+R）+\frac{1}{2}mv_1^2$ ③
由②③式得   E_P=3mgR ④
（3）不考虑因缓慢转动装置对鱼饵速度大小的影响，质量为m的鱼饵离开管口C后做平抛运动，设经过t时间落到水面上，离OO′的水平距离为x₁，由平抛运动规律有 $4.5R=\frac{1}{2}g{t^2}$ ⑤
    x₁=v₁t+R   ⑥
由⑤⑥式解得  x₁=4R ⑦
当鱼饵的质量为$\frac{2}{3}m$时，设其到达管口C时速度大小为v₂，由机械能守恒定律有 ${E_P}=\frac{2}{3}mg（1.5R+R）+\frac{1}{2}（\frac{2}{3}m）v_2^2$ ⑧
由④⑧式解得    ${v_2}=2\sqrt{gR}$ ⑨
质量为$\frac{2}{3}m$的鱼饵落到水面上时，设离OO′的水平距离为x₂，则 x₂=v₂t+R （10）
由⑤⑨（10）式解得     x₂=7R
鱼饵能够落到水平的最大面积S，则　$S=\frac{1}{4}（πx_2^2-πx_1^2）=\frac{33}{4}π{R^2}（或8.25π{R^2}）$ （11）
答：
（1）质量为m的鱼饵到达管口C时的速度大小v₁是$\sqrt{gR}$．
（2）弹簧压缩到0.5R时的弹性势能E_p是3mgR．
（3）持续投放足够长时间后，鱼饵能够落到水面的最大面积S是8.25πR²．

点评本题考查了圆周运动最高点的动力学方程和平抛运动规律，转轴转过90°鱼饵在水平面上形成圆周是解决问题的关键．

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