Question

2．如图所示，半径R=0.9m的光滑的半圆轨道固定在竖直平面内，直径AC竖直，下端A与光滑的水平轨道相切．一个质量m=1kg的小球沿水平轨道从A端进入竖直圆轨道，后小球恰好能通过最高点C．不计空气阻力，g取10m/s²．求：
（1）小球刚进入圆周轨道A点时对轨道的压力为多少？
（2）小球从C点离开轨道后的落地点到A点的距离为多少？
（3）若小球与水平轨道间的动摩擦因数μ=0.25，小球从左侧O点V_O=50m/s的速度出发，则小球从出发点到A的距离为多少？

Answer 1

分析 （1）小球恰好能通过最高点C，由重力提供向心力，由牛顿第二定律可求得小球通过C点的速度，再由机械能守恒求出小球通过A点的速度．根据牛顿第二定律小球在A点所受合力提供圆周运动向心力，从而求得对轨道的压力；
（2）小离开C点后做平抛运动，根据平抛知识求落地点到A的水平距离；
（3）从O到A的过程中只有摩擦力对小球做功，根据动能定理求得OA间的距离．

解答 解：（1）小球恰好能通过最高点C，在C点，有 mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
从A到C，由机械能守恒得 2mgR+$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$=$\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$
在A点，根据向心力公式得：
 N-mg=m$\frac{{v}_{A}^{2}}{R}$
联立解得：N=6mg=60N
由牛顿第三定律得小球对轨道的压力大小为60N．
（2）由上可得在C点的速度 ${v}_{C}=\sqrt{gR}=3m/s$，v_A=3$\sqrt{5}$m/s
小球离开C点后做平抛运动，则
   2R=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
   x=v_Ct
解得平抛运动的水平距离 x=2R=1.8m，即小球从C点离开轨道后的落地点到A点的距离为1.8m．
（3）小球在水平面上运动的过程，由动能定理得：
-μmgS=$\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
解得  S=$\frac{{v}_{0}^{2}-{v}_{A}^{2}}{2μg}$=$\frac{5{0}^{2}-45}{2×0.25×10}$m=491m
答：
（1）小球刚进入圆周轨道A点时对轨道的压力为60N．
（2）小球从C点离开轨道后的落地点到A点的距离为1.8m．
（3）小球从出发点到A的距离为491m．

点评 本题主要考查了向心力公式及平抛运动基本公式的直接应用，要知道小球恰好能通过最高点C时，临界条件是轨道对球的作用力为零．