Question

18．如图所示，带正电的绝缘小滑块A，被长R=0.4m的绝缘细绳竖直悬挂，悬点O距水平地面的高度为3R；小滑块B不带电．位于O点正下方的地面上．长L=2R的绝缘水平传送带上表面距地面的高度h=2R，其左端与O点在同一竖直线上，右端的右侧空间有方向竖直向下的匀强电场．在O点与传送带之间有位置可调的固定钉子（图中未画出），当把A拉到水平位置由静止释放后，因钉子阻挡，细绳总会断裂，使得A能滑上传送带继续运动，若传送带逆时针匀速转动，A刚好能运动到传送带的右端．已知绝缘细绳能承受的最大拉力是A重力的5倍，A所受电场力大小与重力相等，重力加速度g=10m/s²，A、B均可视为质点，皮带传动轮半径很小，A不会因绳断裂而损失能量、也不会因摩擦而损失电荷量．试求：
（1）钉子距O点的距离的范围．
（2）若传送带以速度v₀=5m/s顺时针匀速转动，在A刚滑到传送带上时，B从静止开始向右做匀加速直线运动，当A刚落地时，B恰与A相碰．试求B做匀加速运动的加速度大小（结果可用根式表示）

Answer 1

分析 （1）物体A运动最低点的过程中因机械能守恒求的最低点的速度，由牛顿第二定律求的半径最大值即可；
（2）在A运动到传送带右端的过程中，因钉子挡绳不损失能量，有动能定理求得摩擦因数，在传送带上根据动能定理求的最有短的速度，由运动学公式求的时间，对B物体由运动学公式即可求得加速度．

解答 解：（1）物体A运动最低点的过程中因机械能守恒，由：$mgR=\frac{1}{2}{mv}_{1}^{2}$
${v}_{1}=\sqrt{2gR}=\sqrt{2×0.4×10}m/s=2\sqrt{2}m/s$
A到最低点，绳子被挡住，有：T-mg=$\frac{{mv}_{1}^{2}}{r}$
当T=Tm=5mg，
解得：r=$\frac{R}{2}=0.2m$
故钉子距O点的距离范围是0.4m＞x＞0.2m
（2）在A运动到传送带右端的过程中，因钉子挡绳不损失能量，由动能定理有：mgR-μmgL=0
解得：μ=0.5
因v₀=5m/s＞v₁，所以A在传送带上将做加速运动，假设A一直加速，到右端的速度为v₂，由动能定理有：$μmgL=\frac{1}{2}{mv}_{2}^{2}-\frac{1}{2}{mv}_{1}^{2}$
解得：v₂=4m/s，
假设成立，故物体做平抛运动，对A设在传送带上运动时间为t₁，类平抛运动时间为t₂，由运动学公式，传送带上有：L=$\frac{{v}_{1}+{v}_{2}}{2}{t}_{1}$
类平抛运动，有：l=v₂t₂ 
h=$\frac{1}{2}{at}_{2}^{2}$ 
qE+mg=ma
联立解得：${t}_{1}=0.4（2-\sqrt{2}）s$，
${t}_{2}=0.2\sqrt{2}s$ 
$l=0.8\sqrt{2}m$
对B设匀加过程的加速度大小为a′
$x=L+l=\frac{1}{2}a′（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}$
解得：$a′=\frac{20（1+\sqrt{2}）}{9-4\sqrt{2}}m/{s}^{2}=\frac{340+260\sqrt{2}}{49}m/{s}^{2}$
答：（1）钉子距O点的距离的范围为0.4m＞x＞0.2m
（2）B做匀加速运动的加速度大小为$\frac{340+260\sqrt{2}}{49}m/{s}^{2}$．

点评 本题主要考查了动能定理和运动学公式，抓住A物体运动的时间与B物体运动的时间相同，位移相同即可求解．