Question

13．如图所示．一个棱柱状透明体横截面为扇形，OMN为其某个横截面，O为圆心，半径为R，∠MON=120°，现在该横截面上有一细束单色光Q从ON的B点与ON成45°角射入，折射后光束在材料内部与OM平行．已知B点到O点的距离为$\frac{\sqrt{3}}{3}$R，求：
①该材料的折射率．
②光束在圆弧面上反射后在OM上射出点到O点的距离．

Answer 1

分析 ①光在B点发生折射，根据几何关系求得入射角和折射角，再由折射定律求该材料的折射率．
②光束在圆弧面上反射后在OM上射出点到O点的距离．

解答 解：①单色光Q在B点发生折射时，根据几何关系知，入射角为 i=45°，折射角为 r=30°
则该材料的折射率为 n=$\frac{sini}{sinr}$=$\frac{sin45°}{sin30°}$=$\sqrt{2}$．
②在△OBA中，根据正弦定理得
   $\frac{OB}{sin∠1}$=$\frac{R}{sin60°}$
可得∠1=30°
根据光的反射定律和几何关系知，光束在圆弧面上反射后射到OM上C点时入射角∠2=30°
设全反射临界角为A，则sinA=$\frac{1}{n}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，得 A=45°
因为∠2＜A，所以单色光将从C点射出．
由几何关系知，OC=CA，则OC=$\frac{\frac{1}{2}R}{cos30°}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$R．
答：①该材料的折射率为$\sqrt{2}$．
②光束在圆弧面上反射后在OM上射出点到O点的距离是$\frac{\sqrt{3}}{3}$R．

点评 解决本题的关键是画出光路图，运用几何知识求解相关角度，结合折射定律进行研究．