Question

10．如图所示，固定位置在同一水平面内的两根平行长直金属导轨的间距为d，其右端接有阻值为R和r的并联电阻，整个装置处在竖直向上磁感应强度大小为B的匀强磁场中．一质量为m（质量分布均匀）的导体杆ab垂直于导轨放置，且与两导轨保持良好接触，杆与导轨之间的动摩擦因数为u．现杆在水平向左、垂直于杆的恒力F作用下从静止开始沿导轨运动，速度恰好达到最大（运动过程中杆始终与导轨保持垂直），这个过程中流过ab导体杆的电荷量为q．设杆和导轨电阻不计，重力加速度大小为g，求此过程  
（1）导体杆哪端电势高
（2）导体杆运动的最大速度
（3）导体杆刚达到最大速度时发生的位移
（4）这个过程中电阻R产生的焦耳热．

Answer 1

分析 （1）由右手定则判断电势高低；
（2）根据法拉第电磁感应定律和闭合回路欧姆定律结合平衡条件列方程求解；
（3）根据电荷量的计算公式求解导体杆刚达到最大速度时发生的位移；
（4）由动能定得和焦耳定律求解电阻R产生的焦耳热．

解答 解：（1）由右手定则可得导体杆a端电势高；
（2）导体杆达到最大速度时，由平衡方程可得：F-μmg=F_安
导体杆达到最大速度时，产生的感应电动势为：E=Bdv_m
由闭合回路欧姆定律得：$E=I•\frac{Rr}{R+r}$
此时安培力为：F_安=BId
解得：${v_m}=\frac{（F-μmg）Rr}{{（R+r）{B^2}{d^2}}}$
（3）根据法拉第电磁感应定律可得平均感应电动势为：$\overline{E}=n\frac{△Φ}{△t}=\frac{nBdx}{△t}$
平均电流为：$\overline{I}=\frac{\overline{E}}{Rr}（R+r）$
流过R的电荷量为：$q=\overline{I}△t$
所以，导体杆刚达到最大速度时发生的位移为：$x=\frac{qRr}{Bd（R+r）}$
（4）由动能定得可得：（F-μmg）x+W_B=$\frac{1}{2}m{v}_{m}^{2}$-0
其中电路中总的焦耳热为：Q=-W_B
导体杆刚达到最大速度时电阻R产生的焦耳热为：${Q_R}=\frac{r}{R+r}Q$
解得：${Q_R}=\frac{r}{R+r}[{\frac{（F-μmg）qRr}{Bd（R+r）}-\frac{{m{{（F-μmg）}^2}{R^2}{r^2}}}{{2{B^4}{d^4}{{（R+r）}^2}}}}]$
答：（1）导体杆a端电势高；
（2）导体杆运动的最大速度为$\frac{（F-μmg）Rr}{（R+r）{B}^{2}{d}^{2}}$；
（3）导体杆刚达到最大速度时发生的位移为$\frac{qRr}{Bd（R+r）}$；
（4）这个过程中电阻R产生的焦耳热为$\frac{r}{R+r}[\frac{（F-μmg）qRr}{Bd（R+r）}-\frac{m{（F-μmg）}^{2}{R}^{2}{r}^{2}}{2{B}^{4}{d}^{4}{（R+r）}^{2}}]$．

点评 对于电磁感应问题研究思路常常有两条：一条从力的角度，根据牛顿第二定律或平衡条件列出方程；另一条是能量，分析涉及电磁感应现象中的能量转化问题，根据动能定理、功能关系等列方程求解．