Question

（2010?孝感一模）假设太阳系内某行星和地球的公转轨道均为圆形，且在同一平面内，如图所示，半径较小的轨道是某行星公转的轨道，半径较大的轨道是地球公转的轨道．在地球上观测，发现该行星与太阳可呈现的视角（太阳与行星均看成质点，它们与眼睛连线的夹角）有最大值，并且最大视角的正弦值为

16

25

．则该行星的公转周期为多少年？

Answer 1

分析：根据几何关系求出星球的轨道半径和地球的轨道半径的关系，结合万有引力提供向心力求出轨道半径和周期的关系，从而得出行星的公转周期．

解答：解：行星与太阳的最大视角出现的情况是地球上的人的视线看行星时，视线与行星的轨道相切，如图所示．α为最大视角，由图可知，
sinα=

r星

r地

由题意有：sinα=

16

25

所以

r星

r地

=

16

25

对于环绕太阳运行的任一行星有：

GMm

r2

=mr

4π2

T2

（式中M为太阳质量）
即

T2

r3

=

4π2

GM

所以有：

T星2

T地2

=

r星3

r地3

将上面两星轨道半径比值代入有：T_星=

64

125

T_地=0.512年．
答：该行星的公转周期为0.512年．

点评：解决本题的关键掌握万有引力提供向心力这一理论，本题对数学能力要求较高，需加强训练．